МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С НЕСКОЛЬКИМИ РЕЗУЛЬТАТАМИ ИЗМЕРЕНИЙ

Начнем со сложения результатов измерений.

Пример 90. Распределение вероятности числового значения резуль­тата измерения одной из сторон прямоугольника представлено табл. 54. Независимое измерение прилежащей стороны дало в точности та­кой же результат, т.е. прямоугольник является квадратом. Определить его полупериметр.

Решение. Полу периметр квадрата является величиной, значение ко­торой равно сумме двух других значений r₁ и r₂; , каждое из которых за­дано распределением вероятности, представленным таблицей 54. По ус­ловию r₁ = r₂ = г. При r₁ = 3 второе слагаемое r₂ может иметь любое из трех числовых значений, приведенных в табл. 54. Вероятность того, что r₁ + r₂ = 3 + 3 = 6, равна 0,2 • 0,2 = 0,04; вероятность того, что r₁ + r₂ = 3 + 4 = 7, составляет 0,2 • 0,5 = 0,10; вероятность того, что r₁ + r₂ = 3 + 5 = 8, определяется таким же образом: 0,2 • 0,3 = 0,06. Аналогич­ные варианты возникают при r₁ = 4 и r₁ = 5. Все они сведены в табл. 55.

Таблица 55

Из табл. 55 видно, что

Таким образом числовое значение полупериметра как суммы значении двух прилежащих сторон, полученных путем независимого измерения последних, подчиняется следующему распределению вероятности:

r₁ + r₂ Р

6 0,04

7 0,20

8 0,37

9 0,30

10 0,09

На рис. 194 распределения вероятности числовых значений полупери­метра и сторон квадрата представлены графически. Далее

Таким образом, для оценок, как и для самих числовых характеристик, среднее арифметическое суммы независи­мых результатов измерений

равно сумме их средних арифметических:

а квадрат стандартного отклонения — сумме квадратов стан­дартных отклонений:

Стандартное отклонение среднего арифметического значения пери­метра

Согласно неравенству П.Л. Чебышева с вероятностью не менее 0,9

Пример 91. В табл. 56 приведено 100 независимых значений резуль­тата взвешивания консервированного продукта вместе со стеклянной банкой и крышкой m_б (брутто), в табл. 57 — только банки и крышки (тары).

Таблица 56

Таблица 57

Определить массу консервированного продукта т_H (нетто).

Решение. Масса консервированного продукта m_H равна разности двух результатов измерений

m_H= m_б – m_т ,

распределения вероятности которых заданы таблично. По тому же прин­ципу, по которому составлена табл. 65, составим табл. 58.

Таблица 58

По данным табл. 58 распределение вероятности массы консервированно­го продукта можно представить следующим образом:

m_H, кг Р_Н m_H, кг Р_Н

3,05 0,03 3,12 0,10

3,07 0,05 3,13 0,07

3,08 0,21 3,14 0,07

3,10 0,42 3,15 0,02

3,11 0,01 3,16 0,02

или графически, как показано на рис. 197. Оценки числовых характе­ристик теоретической модели, соответствующей этому эмпирическому распределению вероятности

Так как эмпирическим распределением вероятности, представленным табл. 56 и 67, соответствуют

то действительно среднее арифметическое разности независимых результатов измерений

Q= A - В

равно разности их средних арифметических:

,

а квадрат стандартного отклонения — сумме квадратов стан­дартных отклонений:

S ²_Q = S ²_A + S ²_B .

На этом основании, принимая во внимание, что

можно было бы получить

_H = - _T = 3,1 кг ;

что соответствует результату, который вытекает непосредственно из оценок числовых

характеристик теоретической модели эмпиричес­кого распределения вероятности, представленного на с. 470. Судя по гистограмме, m_H подчиняется нормальному закону распределения вероятности (что можно проверить по критерию К. Пирсона) . Следо­вательно, нормальному закону подчиняется и т_H. Поэтому с вероят­ностью 0,95 масса консервированного продукта

т = 3,095 . . . 3,105 кг.

Из сравнения распределений вероятности Р (r + r) и Р (2r) на рис. 194 и оценок дисперсий S ²_r+r , S ²_2r в примерах 84 и 90 видно,что

r+r 2r , или в общем случае

Q_i nQ ,

где Q_i = Q.

Игнорирование этого обстоятельства приводит к ошибкам Например, с вероятностью 0,95 масса 10000 банок консервов рассмотренных в примере 91, вычисленная по аддитивному алгоритму, составляет (40000 ± 0,4) кг, а по мультиплика­тивному - (40000 ± 40) кг. Нельзя рассчитывать по мульти­пликативному алгоритму электрическое сопротивление цепи состоящей из нескольких одинаковых сопротивлений, соединенных последовательно между собой; суммарную электри­ческую емкость параллельного соединения нескольких одина­ковых конденсаторов и т.д., если числовые значения соответ­ствующих величин заданы или определены как случайные числа. В равной мере нельзя заменять суммированием умножение случайного числа на неслучайный постоянный множитель. Например, вес товарной партии консервов, рассмотренной выше, с вероятностью 0,95 составляет примерно (4 × 10⁵ ± 4) Н,а не (4 ×10⁵ ± 1) Н.

Закон распределения вероятности суммы независимых результатов измерений называется композицией законов распределения вероятности слагаемых. Для определения ком­позиции различных законов распределения вероятности ре­зультатов измерений широко используется метод характерис­тических функции.

Характеристической функцией случайной величины Q на­зывается математическое ожидание случайной величины e ^{j Q} ,где w - неслучайный параметр. Если Q — сумма незави­симых результатов измерений А, В, . . . то

М (e ^jwQ) =М (e ^jwA ×e ^jwB ....),

где сомножители так же независимы, как и результаты изме­рений. Поэтому

М (e ^jwQ) =M (e ^jwA) ×M (e ^jwB) .....

Если характеристическую функцию определить как спектр плотности распределения вероятности результата измерения:

M (e ^{– jwQ}) = e ^{– jwQ} p_Q (Q) d Q = p_Q (w), то

P_Q (w) = _A (w) _B (w) . . . . ,

то естьспектр плотности распределения вероятности суммы независимых результатов измерений равен произведению спектров плотности распределения вероятности слагаемых.

Плотность распределения вероятности композиции несколь­ких законов распределения независимых результатов изме­рений находится обратным преобразованием Фурье:

Пользуясь методом характеристических функций, можно показать, что композицией одинаковых равномерных законов распределения вероятности, которым подчиняются два неза­висимых результата измерений, является треугольный закон (рис. 198), называемый законом распределения вероятности Симпсона. Композицией двух равномерных законов распре­деления вероятности независимых результатов измерений с неодинаковым размахом является трапецеидальный за­кон. Это обстоятельство часто используется при учете дефи­цита информации.

Рассматривая произведение большого числа характеристи­ческих функций, можно убедиться в том, что, независимо от вида сомножителей, оно стремится к характеристической фун­кции, соответствующей нормальному закону распределения вероятности. Это фундаментальное положение носит название центральной предельной теоремы. На рис. 198 видно, как быс­тро нормализуется композиция одинаковых равномерных за­конов распределения вероятности. При числе слагаемых, больше 4-х, уже можно считать, что она практически подчи­няется нормальному закону.

На практике с распределениями вероятности результатов измерений оперируют только при очень точных вычислениях. Обычно ограничиваются расчетами на уровне оценок число­вых характеристик.

Пример 92. При однократном взвешивании продукта в таре, рас­смотренной в примере 91, на противоположную чашу настольных циферблатных весов поставлены две гири по (2 0,01) кг. Стрелоч­ный указатель весов остановился на отметке шкалы 300 г. Опреде­лить массу продукта ту, если известно, что показание весов подчиня­ется нормальному закону распределения вероятности со средним квад-ратическим отклонением 5 г.

Решение. 1. По стрелочному указателю (без учета массы гирь и тары) масса продукта с вероятностью 0,95 находится в пределах ( 300 10) г. Представим эту ситуацию равномерным законом распре­деления вероятности на интервале от 290 г до 310 г со средним зна­чением и аналогом дисперсии, равными соответственно

2. Чему равна масса каждой гири в интервале от 1,99 кг до 2,01 кг, неизвестно. Представим и эту ситуацию математической моделью в виде равномерного закона распределения вероятности на интервале от 1,99 кг до 2,01 кг со средним значением и аналогом дисперсии

3. С учетом массы гирь и тары масса продукта будет представлена математической моделью в виде закона распределения вероятности со средним значением и аналогом дисперсии

В данном случае неслучайное значение массы продукта m_{H H} т.к. си­туационная модель не подчиняется статистическим закономерностям, а учитывает недостаток (дефицит) информации. В соответствии с реко­мендацией Международного комитета мер и весов (см. п. 2.5) примем

_H – ku_mH m_{H H} + ku_mH

где значение коэффициента k устанавливается по согласованию. Поло­жив, как и раньше, k = 2 и проведя вычисление

Подобные вычисления широко используются при внесении аддитивных поправок, точные значения которых неизвестны.

Умножение двух результатов измерений один на другой рассмотрим на примере, когда они равны между собой.

Пример 93. Определить площадь квадрата по данным, приведенным в примере 90.

Решение. Площадь квадрата s равна произведению его сторон

s = r₁ × r₂ ,

распределение вероятности числовых значений каждой из которых пред­ставлено табл. 54. По тому же принципу, по которому составлены табл. 55 и 58, составим таблицу 59.

Таблица 59

Используя данные табл. 59, распределение вероятности площади квадра­та можно представить следующим образом:

s Р

9 0,04

12 0,20

15 0,12

16 0,25

20 0,30

25 0,09

Оценка среднего значения теоретической модели этого эмпирического распределения

= 16,8 ,

а стандартное отклонение

S_S = 4,1 .

Сравнивая этот результат с результатом, полученным в примере 85, убеждаемся, что

r • r r² ,

или в общем случае

п

П Q_i Qⁿ , где Q_i,= Q .

¹

Игнорирование этого обстоятельства приводит к еще более серьезным ошибкам, чем при замене аддитивного алгоритма мультипликативным, или наоборот.

Стандартное отклонение среднего арифметического значения площа­ди квадрата

S = 0,41.

Так как закон распределения вероятности среднего арифметического неизвестен, воспользуемся неравенством П.Л. Чебышева: с вероят­ностью не менее 0,9

s = 16,5... 17,1.

Сопоставляя результат, полученный в последнем примере, с исходными данными в примере 84, видим, что оценки ма­тематических ожиданий обладают таким же свойством, как и сами математические ожидания:среднее арифметическое произведения нескольких независимых результатов измере­ний равно произведению их средних арифметических

= • • …

Характеристика рассеяния произведения связана с харак­теристиками рассеяния сомножителей более сложной зави­симостью, которая будет рассмотрена позже.

На основании рассмотренных примеров 90, 91 и 93 можно заключить, что если

Q = f (A,B,...),

где независимые результаты измерений А, В, . . . заданы эмпи­рическими законами распределения вероятности, полученны­ми с помощью цифровых измерительных приборов, то рас­пределение вероятности

где суммируются только те произведения Р(А_i) Р (B_j) . . . , для которых f (A_i ,B_j , ...)= Q_k .

Если результаты измерений А, В,... заданы теоретически­ми моделями эмпирических законов распределения вероят­ности, то следует опять-таки воспользоваться тем, что интег­ральная функция распределения вероятности F (Q) представ­ляет собой вероятность того, что

Это неравенство в многомерном пространстве выполняется для -всех. точек с координатами А, В, . . . , геометрическим местом которых является область G, ограниченная гиперпо­верхностью

f (A,B,...) = Q .

Поэтому через плотность совместного распределения вероят­ности результатов измерений р (А, В, . . .) интересующая нас вероятность выражается следующим образом:

F(Q)= ò …_G ò p(A,B,…) dA dВ ... .

Если результаты измерений А, В, . . . независимы, то

F(Q) =ò …_G ò p_A (A) p_B (B) ... dA dB ... . (55)

Пример 94. Найти плотность распределения вероятности суммы двух независимых результатов измерения А и В, первый из которых подчиняется нормированному нормальному закону, а второй — равно­мерному закону распределения вероятности на интервале (-1,1).

Решение. 1. Интегральная функция распределения вероятности F (Q) композиции двух рассматриваемых в примере законов представляет собой вероятность того, что

А + B < Q.

Это неравенство выполняется для всех точек с координатами (А, В), геометрическим местом которых является область G, представляю­щая собой полуплоскость, лежащую ниже прямой A + B = Q (рис. 199).

2. Выполняя в (55) интегрирование сначала по В (при постоянном А), а затем по А (или в обратном порядке), получим:

Отсюда плотность распределения вероятности суммы двух независимых результатов измерений

Подстановкой В = Q + v ; dB = dv последний интеграл приводится к виду:

где l — функция Лапласа. График плотности распределении вероятности композиции нормированного нормального и равномерного на интерва­ле (-1,1) законов распределения вероятности независимых результатов измерений показан на рис.200.

Любые математические операции над результатами изме­рений связаны с преобразованиями их законов распределения вероятности. При сложных функциях большого числа резуль­татов измерении, это сопряжено с преодолением значитель­ных, технических трудностей. Поэтому в таких случаях час­то ограничиваются приближенными вычислениями на уровне оценок числовых характеристик.

Пусть, например,

где A и B по-прежнему некоторые результаты измерений. Вво­дя в рассмотрение показания и поправки, можем написать:

где поправки будем для простоты считать известными точно постоянными величинами, а

Идея приближенных вычислений состоит в том, что слож­ную функцию представляют рядом, в котором ограничивают­ся первыми членами разложения. В данном случае, считая поп­равки и случайные отклонения от средних значений малыми по сравнению с Х и Y, разложим функцию f в ряд Тейлора:

Первые слагаемые в правой и левой частях этого выражения не зависят от поправок и случайных отклонений от средних значений. Поэтому

Как обычно, вместо средних значений Х и Y могут быть ис­пользованы лишь их оценки. Это позволит получить оценку , дисперсия которой будет минимальной, если из всех воз­можных оценок и будут выбраны имеющие наименьшую дисперсию. Таковыми являются средние арифметические по­казаний средств измерений. Поэтому эффективная оценка получается в результате подстановки в формулу (57)сред­них арифметических:

. (58)

Для определения поправки _z вычтем уравнение (57) из уравнения (56):

если только ею нельзя пренебречь. Возникновение этой поп­равки на неточность вычислений, объясняемое наличием квадратичных членов разложения, является важной особен­ностью приближенных вычислений на уровне оценок число­вых характеристик.

Вычтем теперь уравнение (60) из уравнения (59), ограни­чившись линейными членами разложения. Получим:

Усреднение квадрата левой и правой частей этого выраже­ния позволяет найти приближенное значение дисперсии ре­зультата функционального преобразования:

где _X и _Y — средние квадратические отклонения результа­тов измерений A и В; R —смешанный центральный момент второго порядка совместного распределения случайных зна­чений А и В.

Общее правило образования центральных моментов сов­местного распределения двух случайных чисел х и у:

где r — номер или порядок момента. Смешанный момент второго порядка

R = _{x y}

называется корреляционным и служит мерой линейной стати­стической связи между двумя случайными числами, которая в отличие от функциональной ука-зывает на то, что по каким-то причинам случайные числа обна­руживают тенденцию к синхрон-, ному изменению, причем не обя­зательно в одном направлении. Например, увеличение случайных значений х сопровождается и не­которым увеличением (рис. 201,0, или наоборот уменьшени­ем — рис. 201, б) случайных зна­чений у. Обычно это бывает след­ствием влияния какого-то обще­го фактора, например, измене­ния температуры в помещении, где проводятся измерения, или падения напряжения в сети пи­тания и т.п. В первом случае корреляционный момент больше нуля, и говорят о положительной корреляции между случайными числами, во втором — об отри­цательной корреляции. Наконец, если в значениях, прююмаемых случайными числами, не усмат­ривается никакой статистичес­кой связи, их корреляционный момент равен нулю. Такие

случайные числа считаются независимыми— рис. 201, в. Обрат­ное утверждение о том, что при R = 0 случайные числа или ве­личины независимы, неверно. Так, корреляционный момент случайных величин А и Q в примере 88

R = (A - ) (Q - ) = A (A² - ²) = ³_A – ²_A = 0,

поскольку для симметричных распределений асимметрия равна нулю, однако эти величины связаны между собой за­висимостью Q = А². Только в частном случае, когда случай­ные числа или величины подчиняются нормальному закону распределения вероятности, выполнение условия R = 0 оз­начает их независимость.

На практике вместо смешанного центрального момента второго порядка может быть вычислена лишь его оценка

где частные производные называются функциями влияния. В случае большого числа независимых результатов изме­рений

Пример 95. Найти стандартное отклонение площади квадрата в примере 93 по формуле (62).

Решение. Так как s = r₁ • r₂ , = r ; = r₁. Используя вместо

r₁ и r₂ их средние арифметические ₁ = ₂ = получим

Числовые значения и S²_r вычислены в примере84. Подставляяих, най­дем

S_S = 4,1 ,

что соответствует ранее полученному результату.

Пример 96. Решить пример 94 методом приближенных вычислений на уровне оценок числовых характеристик,

Решение. 1. Согласно выражению (58),

² = 4,1² = 16,8. Поправка на неточность этого значения

= S ²_r = S ²_r = 0,5

откуда окончательно

² = 16,8 + 0,5 = 17,3 ,

что соответствует результату, полученному в примере 85. 2. По формуле (62)

где расхождение в последнем знаке с результатом, подученным в при­мере 85, свидетельствует о приближенном характере вычислений.

Пример 97. С какой скоростью должно вращаться тело в примере 1, чтобы центробежная сила равнялась 2Н? Результаты измерения массы тела и радиуса окружности (в метрах) приведены в табл. 57 и 54.

Решение. 1. На основании решения примера 1

так как S ²_r = 0.5 м² ; S ²_F = 0; S ²_mT = 1,7 • 10^{- 4} кг² . Следовательно,

= 3, 01 м/с.

3. По формуле (62)

= 0.26 м/с.

4. Стандартное отклонение

S = 2,6 • 10 ^{- 2} м/с.

Поскольку закон распределения вероятности неизвестен, то на осно­вании неравенства П.Л. Чебышева с вероятностью, большей 0,9,

v = 2,9 ... 3,1 м /с.