III.2.4. Размерность физических величин

В том случае, когда мы пользуемся какой-либо одной абсолютной системой единиц, часто бывает удобно изменять масштабы единиц, например, измерять длину в одних случаях в сантиметрах, в других — в метрах, и т. д. Поэтому, прежде всего, необходимо выяснить, как изменяются результаты измерения тех или иных физических величин при таком изменении масштаба. Пока речь идет о результатах измерения тех величин, которые лежат в основе данной системы единиц, дело обстоит просто. Если, например, мы увеличиваем масштаб длины в 100 раз — переходим от сантиметров к метрам, — то числа, получающиеся в результате измерения всех длин, уменьшаются в 100 раз. Но когда мы производим измерения каких-либо других, не основных величин, например силы, работы и т. д., то влияние изменения масштабов на числа, получающиеся в результате измерения этих величин, не столь очевидно.

Числа, получающиеся в результате этих измерений, вообще говоря, изменяются при изменении масштабов основных единиц, так как в абсолютной системе единиц при изменении основных единиц изменяются и все производные единицы. Действительно, если, например, мы увеличим в n раз единицу длины, то во столько же раз увеличится и единица силы; если мы увеличим в n раз единицу времени, то единица силы уменьшится в n² раз. Вместе с изменением единиц, служащих для измерения, изменятся, конечно, и числа, получающиеся в результате измерения: тех или иных физических величин.

Определения основных единиц

Метр — длина, равная 1650763,73 длин волн (в вакууме) излучения, соответствующего переходу между уровнями 2р₁₀ и 5d₅, атома криптона-86.

Килограмм — единица массы — представлен массой международного прототипа килограмма.

Секунда—1/31556925,9747 часть тропического года для 1900 г. января 0 в 12 часов эфемеридного времени.

Ампер — сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2 10^-7 единиц силы Международной системы на каждый метр длины.

Градус Кельвина — единица измерения температуры по термодинамической температурной шкале, в которой для температуры тройной точки воды установлено значение 273,16^о К (точно).

Свеча — единица силы света, значение которой принимается таким, чтобы яркость полого излучателя при температуре затвердевания платины была равна 60 св на 1 см².

Очевидно, что при данном изменении масштабов результаты всех измерений одних и тех же физических величин изменятся одинаково. Другими словами, для всякой физической величины существует вполне определенная связь между изменениями масштабов основных единиц и изменениями чисел, получающихся в результате измерения этой физической величины. Размерность физической величины и выражает эту связь.

Размерность физической величины указывает, как изменяется число, выражающее результат измерения данной физической величины, при изменении масштабов применяемых единиц.

Для указания размерности физических величин пользуются символическими обозначениями, например L^pM^-qT^-r. Это означает, что в системе LМТ число, выражающее результат измерения данной физической величины, уменьшится в n^р раз, если единицу длины увеличить в n раз, увеличится в n^q раз, если единицу массы увеличить в n раз, и, наконец, увеличится в n ^r раз, если единицу времени увеличить ,в n раз.

Итак, размерность физической величины указывает, как в данной абсолютной системе единиц изменяются единицы, служащие для измерения этой физической величины, при изменении масштабов основных единиц. Например, сила в системе LМТ имеет размерность LМТ^-2; это значит, что при увеличении единицы длины в n раз единица силы также увеличивается в n раз; при увеличении единицы массы в n раз единица силы также увеличивается в n раз и, наконец, при увеличении единицы времени в n раз единица силы уменьшается в n² раз.

Размерность всякой физической величины определяется, с одной стороны, установленным способом измерения данной физической ветчины, а с другой, — выбором системы единиц. Например, если мы измеряем скорость отношением пройденного пути к тому промежутку времени, за который этот путь пройден, то в системе LМТ скорость будет иметь размерность LТ^-1. Но если бы мы измеряли скорость по тому времени, в течение которого свободно падающее тело достигло бы измеряемой скорости, тогда за единицу скорости мы должны были бы принять такую скорость, которой свободно падающее тело достигло пи за единицу времени. Ясно, что в этом случае единица скорости изменилась бы так же, как единица времени, и размерность скорости в системе LМТ была бы Т.

Вместе с тем, как уже сказано, размерность физической величины зависит и от выбора системы единиц. Так, например, плотность, которую мы определяем как отношение массы тела к его объему, в системе LMТ имеет, очевидно, размерность L^-3М. Если же пользоваться системой единиц, в основу которой положены единицы длины, силы и времени, т.е. системой LFT, то размерность массы, а вместе с тем и плотности, будет зависеть от выбора способа измерения масс. Измеряя массу по отношению силы к сообщаемому этой силой ускорению, мы получим для массы размерность L^-1FT², а для плотности — L^-4FT².

Таким образом, в различных системах единиц размерность одной и той же физической величины, вообще говоря, различна. В частности, например, различны размерности силы тока в системах CGSE и CGSM. В первой системе размерность силы тока есть L^3/2M^1/2T^-2, а во второй — L^1/2M^1/2T^-1. Поэтому отношение величины силы тока в системах CGSE и CGSM имеет размерность LТ^-1, т.е. совпадает с размерностью скорости. Это отношение называется электродинамической постоянной. Специальные измерения показали, что электродинамическая постоянная с = 2,99796·10¹⁰ см/сек, т.е. совпадает со скоростью света в пустоте.

Физические законы и размерности величин

Всякий количественный физический закон содержит в себе некоторое утверждение относительно связей между теми или иными физическими величинами. Например, во втором законе Ньютона содержится утверждение, что ускорение тела пропорционально действующей на это тело силе; в законе Кулона содержится утверждение, что сила взаимодействия между двумя точечными зарядами обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, и т. д. Для того чтобы проверить на опыте эти утверждения, мы должны независимыми способами одновременно измерить все те величины, к которым относится наше утверждение. Пока мы не располагаем способами независимого измерения всех тех величин, которых касается наше утверждение, мы не можем проверить его на опыте.

Так, положение, содержащееся во втором законе Ньютона, что ускорение пропорционально действующей силе, только тогда можно рассматривать как утверждение, поддающееся проверке на опыте, если мы располагаем независимыми способами измерения ускорений и сил. Если же мы не располагаем независимым способом измерения силы, а определяем силы по тем ускорениям, которые они сообщают телу, то положение, что ускорение пропорционально силе, уже не является утверждением, поддающимся опытной проверке, а представляет собой определение силы, которое, как и всякое определение, в непосредственной опытной проверке не нуждается. Если мы определяем силу по ускорению, заранее считая ее пропорциональной ускорению, то нет смысла подвергать опытной проверке положение, что ускорения пропорциональны силам.

При формулировке всяких физических законов нужно ясно отдавать себе отчет, в какой мере те или иные положения представляют собой утверждения, нуждающиеся в проверке на опыте, и в какой мере они являются лишь определениями новых физических вели­чин. Различать утверждения и определения необходимо потому, что утверждения и определения стоят в совершенно различной связи с опытом.

Утверждения можно и нужно проверять на опыте. Именно постольку, поскольку эти утверждения поддаются опытной проверке и подтверждаются на опыте, они представляют собой физические законы. Проверка состоит в том, что результаты нескольких независимых измерений различных физических величин удовлетворяют соотношению, выражаемому законом.

Определения же не поддаются опытной проверке такого рода. Правда, поскольку в определении всякой физической величины содержится способ ее измерения, этот способ должен, как указывалось, удовлетворять определенным требованиям. С этой точки зрения определения подлежат испытанию на опыте. Однако это испытание сводится к тому, что результаты многократных измерений одной и той же физической величины должны удовлетворять определенным требованиям: однозначности, повторяемости, должны «вести» себя как числа и т. д. Таким образом, испытание на опыте, которому подлежит определение, отличается от проверки на опыте, которой должно быть подвергнуто утверждение.

Если бы в физических законах речь шла всегда только о пропорциональности между физическими величинами, утверждения о том, что между данными величинами существует пропорциональность, оставались бы правильными для любых масштабов единиц (конечно, при условии, что мы во всей серии измерений, используемых для проверки данного утверждения, применяем все время одни и те же единицы). Действительно, замена во всех измерениях одних единиц другими изменит результаты всех измерений в одинаковое число раз, и если между какими-либо величинами существует пропорциональность в одной серии измерений, то она сохранится и во всякой другой серии измерений, произведенной при помощи других единиц.

Таким образом, пока речь идет только о пропорциональности между какими-либо величинами, все ограничения при выборе единиц включаются только в том, что каждую величину мы должны изме­рять все время в одних и тех же единицах. Выбор же самих единиц, служащих для измерения той или другой величины, остается произвольным.

Иначе обстоит дело, когда в физическом законе содержится утверждение не о пропорциональности, а о равенстве между какими-либо комбинациями физических величин. Ясно, что от пропорциональности между какими-либо величинами всегда можно перейти к равенству между ними, введя соответствующий коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент пропорциональности мы могли бы определить из опыта, измерив один раз все физические величины, входящие в данный закон. Дальше мы могли бы утверждать, что результаты измерения нескольких различных физических величин должны удовлетворять определенному равенству.

Например, второй закон Ньютона представляет собой утвержде­ние, что произведение массы на ускорение равно действующей силе. Мы утверждаем, что, измерив какими-либо независимыми способами массу тела, его ускорение и действующую силу и перемножив числа, полученные в результате первых двух измерений, мы получим число, равное результату третьего измерения. Но в таком виде это утверждение справедливо только при определенном выборе единиц измерений, например, если мы будем измерять массу в граммах, ускорение в см/сек² и силу в динах. Если же мы будем измерять массу в килограммах, а ускорение и силу — по-прежнему в см/сек² и динах, то равенство между произведением массы на ускорение и силой, конечно, нарушится. Следовательно, в этом случае на выбор единиц измерений накладываются какие-то более жесткие требования, чем в том случае, когда речь идет только о пропорциональности между физическими величинами.

Правило размерностей

Эти жесткие требования, казалось бы, заключаются в том, что, формулируя какой-либо физический закон в виде равенства, мы должны тут же фиксировать и единицы, в которых следует измерять псе входящие в этот закон величины. Однако эти требования можно значительно смягчить, если во всех равенствах, выражающих физические законы, размерности обеих частей равенства будут одинаковы. В таком случае требование сводится только к тому, чтобы для измерения всех величин, входящих в данное равенство, пользоваться одной и той же абсолютной системой единиц. Масштаб же основных единиц можно выбирать совершенно произвольно — равенство при этом не нарушается.

Так, во втором законе Ньютона можно, пользуясь системой LMT, измерять массу в граммах, ускорение в см/сек² и силу в г·см/сек², т. е. в динах. Но можно также пользоваться системой единиц: метр, килограмм массы, секунда; тогда ускорение следует измерять в м/сек², а силу — в кг·м/сек². Как в том, так и в другом случае произведение массы на ускорение будет равно действующей силе. Обусловлено это именно тем, что во втором законе Ньютона размерности обеих частей равенства одинаковы: размерность силы равна произведению размерностей массы и ускорения. Поэтому при переходе к новым масштабам результаты измерений отдельных величин будут, изменяться одинаково и равенство не нарушится.

Это справедливо, конечно, всегда. Соотношения, которые существуют между физическими величинами, не зависят от выбора масштабов единиц, если знак равенства соединяет выражения, имеющие одинаковую размерность. Нельзя сказать, что соотношения, в которых знак равенства соединяет выражения различной размерности, не имеют смысла, — они лишь не имеют общности. Например, можно утверждать, что давление Р в воде, выраженное в кГ/см², равно одной десятой от глубины погружения h в метрах, и записать это следующим образом:

Р (кГ/см²) = 0,1 h (м).

Эта формула не только имеет вполне определенный смысл, по ею пользоваться удобнее, чем всякой другой, несмотря на то, что размерности правой и левой частей в ней различны. Но она не имеет общности — она верна лишь в тех, случаях, когда мы измеряем давление в кГ/см², а глубину в метрах. Если мы перейдем к измерению глубины, например, в сантиметрах, то формула окажется неверной.

Каким же образом достигается в физических формулах равенство размерностей правой и левой частей, обеспечивающее этим формулам общность, т. е. независимость от масштабов?

Здесь следует различать два случая.

Первый состоит в том, что в формулу, выражающую данный физический закон, входит какая-либо физическая величина, для которой единицы измерения устанавливаются на основании этого самого закона. Примером этого может служить закон Кулона:

F = e_1·e₂/r². (1.1)

Единица количества электричества устанавливается на основании самого закона Кулона: мы принимаем за единицу такое количество электричества, которое с равным ему количеством электричества, находящимся на расстоянии, равном единице, взаимодействует с силой, равной единице. В этом случае одинаковая размерность правой и левой частей соблюдается, так сказать, «автоматически». Действительно, если закон Кулона справедлив при любых масштабах единиц значит, размерности правой и левой частей в (1.1) должны быть одинаковыми. Отсюда определяется связь между единицами количества электричества и единицами силы и длины. Размерность количества электричества в системе LМТ должна быть L^3/2M^1/2T^-1, чтобы размерность выражения e_1·e₂/r² оказалась равной размерности силы.

Таким же образом в каждом из законов, которыми мы пользуемся для установления единиц измерения какой-либо из физических ве­личин, входящих в этот закон, одинаковая размерность правой и левой частей равенства всегда будет обеспечена.

Во втором случае в формулу, выражающую данный закон, входят только такие физические величины, для которых единицы измерения установлены были ранее либо непосредственно (в виде эталонов), либо при помощи каких-либо других законов. При этом, вообще говоря, может случиться, что наш закон устанавливает пропорциональность между комбинациями физических величин, размерности которых различны. Тогда после перехода от пропорциональности к равенству, чтобы это равенство не нарушалось, коэффициент пропорциональности должен изменяться при изменении масштабов.

Например, в случае закона всемирного тяготения утверждение состоит в том, что сила F взаимного притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению масс m₁ и m₂ этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:

F ~ m₁·m₂/r².

Но размерность правой части есть М²L^-2, а размерность левой MLT^-2, следовательно, величина численного коэффициента, который нужно ввести, чтобы от пропорциональности перейти к равенству, будет зависеть от выбора масштабов. Мы могли бы написать закон всемирного тяготения в общем виде следующим образом:

F = γ(m₁·m₂/r²). (1.2)

где γ — некоторый численный коэффициент. При этом значение γ изменяется при изменении масштабов; следовательно, γ представляет собой величину, имеющую определенную размерность. И так как мы каждый раз при переходе к новым масштабам подбираем γ так, чтобы равенство (1.2) оставалось справедливым, то тем самым мы так определяем размерность γ, чтобы размерности правой и левой частей равенства (1.2) оказались одинаковыми. Для этого коэффициент γ должен иметь размерность L³M^-1T^-2. (Значение γ определяется из опыта; величина эта носит название гравитационной постоянной.) Но, вводя в закон всемирного тяготения этот коэффициент, размерность которого определяется из самого же закона всемирного тяготения, мы свели ниш второй случай к первому. А в первом случае, как мы видели, одинаковая размерность правой и левой частей обеспечивается «автоматически».

Может, конечно, случиться, что в новом физическом законе, связывающем между собой величины, единицы измерения которых, а значит, и размерности, были установлены заранее, размерности правой и левой частей «сами собой» оказываются одинаковыми. Тогда, хотя при переходе от пропорциональности к равенству может оказаться необходимым ввести некоторый численный коэффициент, величина этого численного коэффициента не будет зависеть от выбора масштабов единиц, т. е. он окажется безразмерным.

Мы видим, таким образом, что равенствам, выражающим физические законы, всегда можно придать такой вид, чтобы эти равенства не нарушались при изменении масштабов единиц (т. е. чтобы размерности правой и левой частей равенства, были одинаковы). Именно в таком общем, не зависящем от выбора масштабов, виде и принято обычно выражать все физические законы и вообще все соотношения между физическими величинами. Иногда, однако, бывает удобнее не соблюдать условия одинаковой размерности правой и левой частей (выражения получаются проще). Но тогда обязательно должно быть оговорено, в каких единицах производится измерение всех входящих в соотношение величин, и нужно иметь в виду, что применять другие единицы, отличные от указанных, уже нельзя.