Решение систем дифференциальных уравнений

Последовательность действий для решения системы дифференциальных уравнений первого порядка такова (описана для значения ORIGIN=0):

1. перейти в исходной системе уравнений к однотипным обозначениям функций и выразить первые производные,

например, систему можно преобразовать в ;

1. в документе MathCad сформировать вектор начальных условий, количество элементов которого равно количеству уравнений системы, присвоив его некоторой переменной (см. тему 2);

например, ;

1. определить вектор-функцию, которая содержит первые производные искомых функций:
2. набрать имя функции с двумя параметрами: первый параметр – аргумент искомых функций (независимая переменная), второй – имя вектора, содержащего искомые функции (можно использовать имя вектора начальных условий), например, D(t,V);

(Замечание: если независимая переменная явно не присутствует в системе, то в качестве ее имени можно выбрать любую переменную)

1. набрать оператор «:=» и вставить шаблон вектора, количество элементов которого равно количеству уравнений системы (см. тему 2)

набрать в качестве элементов вектора правые части системы уравнений, в которых искомые функции представлены соответствующими элементами вектора-параметра, например,

;

1. присвоить некоторой переменной значение функции rkfixed, указав в скобках следующие параметры:первый – имя вектора начальных условий, второй – левая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы, третий – правая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы, четвертый – количество точек, в которых ищется решение, пятый – имя вектора-функции, описывающего первые производные, без параметров;

например: ,

(в результате получится матрица Z, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором – значения первой функции, в третьем – значения второй функции и т.д.);

1. вывести матрицу, содержащую решение системы ДУ с помощь оператора «=», например: Z = ;
2. построить графики найденных функций (см. тему 5), указав в качестве аргумента по оси абсцисс первый столбец матрицы решений, например, , а в качестве значений функций по оси ординат – остальные столбцы матрицы через запятую, например, , и т.д.

Пример 7.2Найтирешение системы дифференциальных уравнений

на интервале от 0 до 0.5 в 1000 точках, при следующих начальных условиях: x(0)=0.1 и y(0)=1.

Выполнить графическую интерпретацию результатов.

Реализация в MathCad: