Обобщенные критерии

Припринятии управленческих решений проблемы сравнитель­ной оценки многомерных альтернативных вариантов играют особую роль.

Пример 4.1.Пусть рассматриваются инвестиционные проекты в области машиностроения.

В качестве обобщенного критерия, характеризующего сравнительную предпочтительность инвестиционных проектов, представленных на инвестиционный конкурс, определена сравнительная эффективность проекта.

В качестве частных критериев первого иерархического уровня выбраны конкурентоспособность, ресурсосбережения, экологическая безопасность и социальная значимость.

В этом случае;

К₁ — конкурентоспособность,

К₂ — ресурсосбережения,

К₃ — экологическая безопасность,

К₄ — социальная значимость.

Пусть инвестиционный проект А характеризуется вектором оценок

Х_А = (4, 3, 2, 4),

а инвестиционный проект B — вектором оценок

Х_B=(3, 2, 2, 1).

Инвестиционный проект А более предпочтителен, чем ин­вестиционный проект В, поскольку вектор оценок Х_А по всем компонентам (частным критериям) предпочтительнее, чем ве­ктор оценок Х_В.

Приведем общие правила, согласно которым может быть осуществлено сравнение объектов экспертизы, характеризую­щихсясоответствующими векторами оценок.

Альтернативныйвариант (объект) a_i недоминируем, если не существует альтернативного варианта а_j, превосходящего (не уступающего) а_j по всем компонентам (частным критериям).

Естественно, что наиболее предпочтительный среди срав­ниваемых альтернативных вариантов а₁, ..., а_п относится к числу недоминируемых.

Недоминируемые альтернативные варианты, как уже гово­рилось выше, образуют множество Парето.

При выборе наиболее предпочтительных альтернативных ва­риантов, как правило, недостаточно ограничиться лишь указа­нием множества Парето, которому может принадлежать слишком много объектов.

Например, частные критерии К₁, ..., К_S могут принимать лишь два значения: 1, если альтернативный вариант обладает соответствующим свойством, и 0 — в противном случае.

Тогда число альтернативных вариантов, половина оценок которых по частным критериям равна 1, может уже при s= 20 стать больше 100 тыс.

Очевидно, что ни один из этого множества альтернативных вариантов не доминируем другими, ему принадлежащими, и все они могут одновременно принадлежать множеству Парето.

В этом случае число альтернативных вариантов, признан­ных наилучшими, слишком велико.

Поэтому часто используются другие, более тонкие методы сравнительной оценки альтернативных вариантов. Рассмотрим некоторые из них.

Пусть частные критерии К₁,..... К_s, по которым оцениваются объекты принятия управленческих решений, таковы, что К₁ существенно важнее всех остальных частных критериев, К₂ существенно важнее всех остальных частных критериев, за ис­ключением К₁, и т. д.

В этом случае если альтернативный вариант a_i предпочтительнее альтернативного варианта а_j по частному критерию К₁, то независимо от оценок a_i, a_j, по остальным частным критериям а_i более предпочтительна, чем а_j.

Если же оценки альтернативных вариантов совпадают по первым r частным критериям и различаются по (r+1)-му ча­стному критерию, то более предпочтительным в этом случае является альтернативный вариант по (r+1)-му частному кри­терию.

Такое упорядочение альтернативных вариантов — объектов принятия управленческих решений по предпочтениям называ­ется лексикографическим.

Легко заметить, что при лексикографическом упорядочении вcе альтернативные варианты оказываются строго проранжироианными. Одинаково предпочтительными могут ока­заться лишь альтернативные варианты с совпадающими векто­рами оценок.

В случае лексикографического упорядочения задача выбора за­данного числа наиболее предпочтительных для эксперта или ЛПР альтернативных вариантов оказывается легко решаемой. Для этого достаточно выбрать нужное число первых альтернатив­ных вариантов — объектов принятия управленческого реше­ния в их лексикографическом упорядочении.

Однако далеко не всегда частные критерии оценки альтер­натив К₁,..... К_S настолько неравноценны, настолько несоиз­меримы по важности, что одни из них настолько более важны, чем другие.

Более типична ситуация, когда относительная важность критериев, по которым осуществляется сравнительная оценка объектов принятия управленческого решения, является сопо­ставимой.

В этом случае прибегают, если возможно, к различным ме­тодам свертки — построению обобщенного критерия, позво­ляющего дать единую численную оценку каждому из сравниваемых альтернативных вариантов.

Различные подходы к формированию обобщенного критерия будут обсуждены ниже.

Одним из наиболее важных предположений о характере частных критериев при установлении факта их сопоставимости является предположение об их независимости.

Для случая s = 2 (двух критериев) свойство независимости критериев может быть сформулировано следующим образом:

, (4.1.)

, (4.2.)

где x_i,1, и x_j,1 — значения оценок альтернативных вариантов a_i и а_j по частному критерию К₁, а х_i,2 и х_j,2— значения оценок альтернативных вариантов а_i и a_j по К₂.

Соотношение (4.1) показывает, что предпочтения альтерна­тив сохраняются при любых одинаковых значениях оценок по частному критерию К₂ и определяются оценками по К₁, а со­отношение (4.2) показывает, что предпочтения альтернатив­ных вариантов сохраняются при любых одинаковых значени­ях по частному критерию К₁, и определяются оценками по К₂.

Однако сформулированные условия независимости крите­риев оказываются необходимыми, но недостаточными для существования обобщенных критериев.

Сегодня известны необходимые и достаточные условия су­ществования функций полезности и₁(х), ..., u_s(x) таких, что альтернативный вариант а_i предпочтительнее альтернативного варианта а_j тогда и только тогда, когда

(4.3)

а альтернативные варианты a_i;. и a_j равноценны тогда и толь­ко тогда, когда

(4.4)

Исследованию функций ценности (полезности) посвящена обширная литература (например, [3, 41).

Поэтому не будем останавливаться на этом подробнее. Нас интересуют прежде всего конкретные методы формирования обобщенных критериев, используемые при анализе и обработке экспертной информации.

Линейные обобщенные критерии строятся в предложениях аддитивности частных критериев и сопоставимости их по от­носительной важности. Случай, когда одни из частных крите­риев существенно важнее других, приводит к лексикографиче­скому упорядочению критериев, рассмотренному выше.

Заметим, что сравнивать по предпочтительности целесооб­разно лишь однородные критерии, измеряющие интенсивность свойств одной и той же природы.

В случае когда критерии таковыми не являются, необходи­мо их преобразовать в однородные. Для этого, если измерения по частным критериям произве­дены в шкалах отношений, оценки по ним преобразуются по формуле:

(4.5)

где — максимально возможная оценка по критерию v.

Если измерения по частным критериям произведены в шкалах интервалов [3, 4j, оценки преобразуются по формуле

(4.6)

где x_v — минимальная оценка по критерию v [3].

Непротиворечивость частных критериев позволяет получать непротиворечивую информацию о сравнительной предпочти­тельности альтернативных вариантов при экспертном оцени­вании.

Измерение частных критериев в шкале порядка не позволя­ет корректно вводить операции сложения оценок по различ­ным частным критериям, например по К_P и К_q, взятым соот­ветственно с коэффициентами с_p и с_q .

Один из широко используемых методов сравнительной оценки многокритериальных объектов принятия управленче­ских решений в практике управления — метод обобщенных линейных критериев.

В этом методе предполагается определение весовых коэф­фициентов с₁,..... c_s частных критериев К₁, ..., K_s, содержащих большую информацию о сравнительной важности критериев, чем их измерение в шкале порядка [3, 4].

Измеримость оценок важности частных критериев в шкале отношений делает корректной процедуру сравнительной оценки многокритериально оцениваемых альтернативных вариан­тов спомощью обобщенного линейного критерия

(4.7)

Этот обобщенный линейный критерий позволяет установить отношение линейного порядка (предпочтительности) на мно­жестве оцениваемых с помощью нескольких критериев альтер­нативных вариантов, что и является одним из способов реше­ния задачи выбора наиболее предпочтительного альтернативно­го варианта наиболее эффективного управленческого решения.

Наиболее предпочтительным признается альтернативный вариант a_i для которого справедливо следующее соотношение:

(4.8)

Если необходимо выбрать k наиболее предпочтительных альтернативных вариантов, то ими будут к альтернативных ва­риантов, получивших наибольшие оценки по критерию (4.6).

При назначении весовых коэффициентов c_v, характеризую­щих относительную важность частных критериев К₁,...,K_s, необходимо производить сравнение значений критериев, соот­ветствующих их одинаковым уровням.

В качестве таких уровней можно выбрать уровень макси­мальных или минимальных значений частных критериев, как, например, это делается при сведении частных критериев к од­нородным.

Для определенности будем сравнивать максимальные уров­ни и в дальнейшем; говоря о сравнительном влиянии частных критериев на общую оценку альтернативных вариантов, будем иметь в виду прежде всего максимальные уровни, предполагая, что сравнительные влияния частных критериев на других, но обязательно одинаковых уровнях аналогичны.

Пусть улучшение значения оценки альтернативного варианта по критерию K_s на единиц эквивалентно ухудшению значения оценки альтернативного варианта по критерию К_p на единиц и не зависит от конкретных значений оценок альтернативных вариантов по критериям К₁,..... К_m, и в частности от конкретных значений оценок по критериям К_р и К_q.

Коэффициент называют глобальным коэффициентом за­мещения.

Обобщенный линейный критерий (4.6) существует тогда итолько тогда, когда значения частных критериев максимально­го уровня измеримы в шкале отношений (т. е. в шкале, анало­гичной той, в которой измеряются вес, длина и т. д.).

Отсюда следует [4], что для получения коэффициентов важ­ности частных критериев К₁,..., К_s при практическом исполь­зовании оценочных систем можно воспользоваться любым ме­тодом, позволяющим получать измерения и оценки альтерна­тивных вариантов в шкале отношений.

Внутри каждого частного критерия может допускаться рав­номерная зависимость значений частных критериев от оценок экспертов. Если характер оценок такой, что они нелинейно влияют на значения частного критерия, то для получения ре­зультирующей оценки необходимо в обобщенном критерии представить указанную зависимость.

С учетом неравномерных и, вообще говоря, нелинейных за­висимостей значений частных критериев, по которым осуще­ствляется оценка объектов принятия управленческих реше­ний, от оценок экспертов K_v(а_i) обобщенный аддитивный критерий запишется в виде

(4.9)

где k_v(а_i) могут быть и нелинейными функциями.

Если обобщенный критерий построить не удается, необхо­димо пользоваться другими методами сравнительной оценки многомерных альтернативных вариантов.

Шкалы

Это даже необязательно должны быть количественные измерения в привычном для нас понимании. Это могут быть и каче­ственные оценки, позволяющие судить о происходящих изменени­ях, об их динамике.

Поэтому, когда мы говорим об оценках экспертов, мы по­нимаем под этим количественные или качественные измере­ния соответствующих показателей.

Отметим сразу, что экспертные измерения, т. е. оценки, которые даются экспертами при выработке и принятии управ­ленческих решений, обладают некоторыми особенностями.

Обсудим их более подробно. Для этого нам придется вспомнить основные положения теории измерений. Любое измерение производится, как правило, в определен­ной шкале. Например, если мы измеряем температуру, то обя­зательно производим это либо в шкале Цельсия, либо в шка­ле Фаренгейта, либо в шкале Кельвина и т. д.

Один и тот же объект в один и тот же момент времени в од­ной и той же точке пространства имеет, естественно, опреде­ленную температуру, которая, будучи измерена в различных шкалах, даст различные численные значения.

Измерения веса также могут производиться в различных шкалах, но между шкалами,в которых измеряется температу­ра, и шкалами, в которых измеряется вес, есть одна сущест­венная разница.

Если для второго типа шкал значение имеет только отно­шение значений веса измеряемых объектов, то для первого ти­па шкал к этому добавляются и различные точки отсчета. Более детальное изложение основ теории измерений чита­тель может найти в работе [3].

Характер произведенных экспертных измерений необходи­мо принимать во внимание и при проведении процедур экс­пертного оценивания, выработке и принятии управленческих решении, определении коллективных решений.

Эксперты должны однозначно понимать, что именно и в какой шкале они оценивают, чтобы избежать ситуаций, когда эксперты оценивают один и тот же показатель, характеризую­щий объект исходя из различных предпосылок.

В зависимости от целей экспертизы эксперты могут оцени­вать стоимость объекта, ожидаемую инфляцию, ожидаемые изменения валютного курса, степень удовлетворительности достигнутого уровня по тому или иному показателю, приори­тетность финансирования, кредитные лимиты, устойчивость фирмы, рейтинг банка и т. д.

Оцениваемые показатели, как и объекты оценки, достаточно разнообразны. Если эксперт должен оценить значение количественного показателя, он может это сделать, указав соответствующее численное значение либо интервал, в котором, по его мнению лежит значение оцениваемого показателя.

При коллективной экспертной оценке значения показате­ля, указанные экспертами, либо усредняются, либо обрабаты­ваются с помощью других специальных методов.

Могут использоваться также различные методы получения экспертной информации — методы экспертных измерений, которые мы обсудим ниже.

Если критерии, по которым оцениваются проекты, носят экономический характер и измеряются в рублях (долларах), годах (месяцах), процентах и т. д., то мы, как правило, поль­зуемся соответствующими общеизвестными шкалами.

Однако нередко при оценивании проектов возникает необхо­димость в использовании критериев, оценки по которым могут быть получены лишь с помощью специально разрабатываемых вербально-числовых шкал.

Вербально-числовые шкалы применяются преимущественно в тех случаях, когда оценки по критерию носят субъективный ха­рактер.

Например, субъективный характер, в основе которого опыт и знания эксперта, носят оценки степени риска, ожидаемой конкурентоспособности продукции, сравнительной значимо­сти того или иного фактора и многие другие.

Смысл вербально-числовых шкал в том, что они позволяют измерить степень интенсивности критериального свойства, имеющего субъективный характер.

В состав вербально-числовых шкал входят, как правило, содержательное описание градаций шкалы и числовые значения, соответствующие каждой из градаций шкалы.

В качестве примера вербально-числовой шкалы, имеющей достаточно широкое применение, мы приведем шкалу Харрингтона, характеризующую степень выраженности критериального свойства и имеющую универсальный характер (табл. 5.1). Отметим, что численные значения градаций шкалы Харрингтона получены на основе анализа и обработки большого массива статистических данных.

Однако при оценке объектов принятия управленческих решенийпо критериям, допускающим лишь субъективную оценку специалистов, целесообразны разработка и использо­вание специальных шкал, отражающих специфику того или иного критерия, той или иной группы объектов при выработ­ке и принятии управленческого решения.

Таблица 5.1. Вербально-числовая шкала Харрингтона

Можно использовать следующую процедуру для формиро­вания вербально-числовых шкал, специально предназначен­ных для оценки проектов по критериям, для которых обще­принятые вербально-числовые шкалы отсутствуют.

Формирование вербально-числовой шкалы можно разбить на два этапа:

§ выбор градаций (делений) шкалы,

§ определение численных значений градаций шкалы.

Очень важно при определении набора градаций шкалы вы­брать такие,содержательные интерпретации которых одинако­во или почти одинаково (с незначительными разногласиями, не превышающими заданного порога) принимаются всеми экспертами, участвующими в выработке управленческих реше­ний.

Для получения численных значений, соответствующих со­держательно описанным градациям шкалы, могут быть ис­пользованы специальные методы. Ознакомиться с алгоритма­ми формирования вербально-числовых шкал можно, напри­мер, в работе [3|.

Таким образом, нами рассмотрены основные проблемы формирования оценочной системы, предназначенной для вы­работки и принятия управленческих решений.

Самостоятельный интерес при формировании оценочной системы представляет определение принципа принятия реше­ния, на основании которого по значениям критериев оценен­ных альтернативных вариантов решений устанавливается их сравнительная предпочтительность.

Некоторые методы и правила определения принципа при­нятия решений — выбора наиболее предпочтительного альтернативного варианта — уже были обсуждены.

6. Количественные и качественные экспертные оценки

Остановимся теперь на основных способах экспертных из­мерений — методах получения экспертных оценок, играющих во многих случаях определяющую роль при принятии важных управленческих решений.