Приближенные вычисления.

Задача 1.Вычислить приближенное значение суммы

1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + ...

Считаем, что нужное приближение получено, если вычислена сумма нескольких слагаемых, и очередное слагаемое оказалось по модулю меньше, чем данное малое положительное число e.

Для решения задачи мы должны выполнить следующие действия:

1) получить очередное слагаемое (назовем его а);

2) сравнить абсолютную величину слагаемого а с e и, в зависимости от результата сравнения, либо продолжить, либо прекратить вычисления.

Program p;

var a: real;

x : real;

e : real;

i : integer;

S : integer;

Begin

readln(x, e);

i:=1;

a:=1;

S:=0;

WHILE a>e DO

begin

S:=S+a; i:=i+1; a:=a*x/i;

end;

writeln(‘приближенное значение суммы=’,S:4:2)

end.

Задача 2.Рассмотрим часто встречающуюся задачу приближенного решения уравнения f(x)=0, где f(x) - заданная функция. Решить уравнение - значит найти такое значение х^*, при котором f(x^*)=0. Поиск решения осуществляется на интервале [a;b], причем f(a)<0, а f(b)>0. Используем метод деления пополам. Находим точку с=(а+b)/2 - середина отрезка. Если f(c)>0, то границу b изменяем на значение с, а если f(с)<0, то изменяем а. Процесс продолжаем, пока длина интервала не будет меньше заданной точности.

Y     f(x)     0 a c b X

Пусть f(x)=x²-2, т.е. мы попытаемся найти значение квадратного корня из 2.

program popolam;

const eps=1.0E-3;

var a,b,c:real;

Function eg(x,y:real):boolean;

begin

Eg:=Abs(x-y)<eps

end;

Function F(x:real):real;

begin

F:=Sgr(x)-2

end;

BEGIN

Writeln(‘введите интервал’); readln(a,b);

if F(a)*F(b)>0 then writeln(‘на этом интервале мы не можем

найти решение уравнения’)

else begin

while Not Eg(a,b) do

begin c:=(a+b)/2;

if F(c)>0 then b:=c else a:=c

end;

writeln(‘Результат ’,a)

end;

readln

end.

Можно с помощью этой программы решить уравнения :

x²-6x+5=0 x-cosx=0 x-lnx-2=0 2x³-9x²-60x+1=0

Y     0 a x1 x2........ xn-2 xn X

Задача 3.Пусть непрерывная положительная на отрезке [a,b] (a<b) функция. Вычислим площадь фигуры, ограниченную графиком функции f(x), осью х и прямыми х=а и х=b. Для этого разобьем отрезок [a,b] на n равных отрезков одинаковой длины Dx=(b-a)/n a=x₀<x₁<...<x_i<x_i+1<....<x_n=b

На каждом из отрезков [x_i,x_i+1] как на основании, построим прямоугольник с высотой f(x_i).

Площадь прямоугольников мы умеем находить. Сумма площадей всех прямоугольников даст приближенное значение площади фигуры:

S_приб=(b-a)/n*(f(x₀)+....f(x_n-1))

Естественно, что чем мельче будет разбиение, тем точнее мы подсчитаем площадь фигуры.

Для отладки программы возьмем функцию f(x²) на отрезке [1,2]. Площадь фигуры равна 2,333....