Методы решения уравнений узловых напряжений

Методы решения линейных уравнений делятся на две группы:

точные или прямые методы, которые позволяют получить точные значения искомых переменных в результате конечного числа вычислительных операций;

итерационные методы, или методы последовательных приближений, которые позволяют получить значения искомых переменных с заданной точностью в результате повторяющейся вычислительной процедуры.

Метод последовательного исключения переменных (методГаусса) является одним из наиболее распространенных точных методов решения линейных систем алгебраических уравнений. Идею метода рассмотрим на примере следующей cистемы линейных уравнений:

Y₁₁U₁+Y₁₂U₂+Y₁₃U₃=J₁;

Y₂₁U₁+Y₂₂U₂+Y₂₃U₃=J₂; (6.14)

Y₃₁U₁+Y₃₂U₂+Y₃₃U₃=J₃.

Поделив первое уравнение на коэффициент Y₁₁, получим

U₁+Y₁₂'U₂+Y₁₃'U₃=J₁', (6.15)

где Y₁₂'=Y₁₂/Y₁₁, Y₁₃'=Y₁₃/Y₁₁, J₁'=J₁/Y₁₁.

Здесь и далее штрихами (одним, двумя и т. д.) будут обозначаться пересчитанные проводимости и токи исходной системы (6.14).

Пользуясь уравнением (6.15), можно исключить неизвестное напряжение U₁ из второго и третьего уравнений системы (6.14). Для этого умножим уравнение (6.15) сначала на Y₂₁, а затем на Y₃₁ и вычтем полученные результаты соответственно из второго и третьего уравнений системы (6.13). В результате получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Y₂₂"U₂+Y₂₃"U₃=J₂";

Y₃₂"U₂+Y₃₃"U₃=J₃". (6.16)

Поделив первое уравнение системы (6.16) на коэффициент Y₂₂", получим

U₂+Y₂₃'''U₃=J₂'''. (6.17)

Пользуясь уравнением (6.17), можно исключить неизвестное напряжение U₂ из второго уравнения системы (6.16). Для этого умножим уравнение (6.17) на Y₃₂" и вычтем полученный результат из второго уравнения системы (6.16). В результате получим

Y₃₃""U₃=J₃"". (6.18)

Таким образом, исходная система (6.14) свелась к эквивалентной системе, состоящей из уравнений (6.15), (6.17) и (6.18)

U₁+Y₁₂'U₂+ Y₁₃'U₃ =J₁';

U₂+Y₂₃'''U₃=J₂'''; (6.19)

Y₃₃""U₃=J₃"".

Ход дальнейшего решения очевиден. Из третьего уравнения системы (6.19) вычисляется напряжение U₃=J₃""/Y₃"" и подставляется во второе и первое уравнения, из второго уравнения вычисляется напряжение U₂ и подставляется в первое уравнение, наконец, из первого уравнения вычисляется напряжение U₁.

При большем чем четыре количестве узлов в электрической сети объем вычислений возрастает, но вычислительный алгоритм сохраняется.

Метод простой итерации является одним из наиболее простых итерационных методов решения линейных систем алгебраических уравнений. Идею метода рассмотрим так же, как и метод Гаусса, на примере cистемы линейных уравнений (6.14).

Разрешим первое уравнение системы (6.14) относительно напряжения U₁, второе – относительно U₂, третье – относительно U₃. В результате получим

U₁= –Y₁₂U₂/Y₁₁–Y₁₃U₃/Y₁₁+J₁/Y₁₁=Y₁₂'U₂+Y₁₃'U₃+ J₁';

U₂= –Y₂₁U₁/Y₂₂–Y₂₃U₃/Y₂₂+J₂/Y₂₂=Y₂₁'U₁+Y₂₃'U₃+J₂';(6.20)

U₃= –Y₃₁U₁/Y₃₃–Y₃₂U₂/Y₃₃+J₁/Y₃₃=Y₃₁'U₁+Y₃₂'U₂+J₃'.

Дадим начальные приближения искомым напряжениям U₁=U_1,0, U₂=U_2,0, U₃=U_3,0. Подставив эти начальные приближения в правые части системы (6.20), вычислим первые приближения искомых напряжений U_1,1, U_2,1, U_3,1. Проделанное вычисление соответствует первому шагу итерационного процесса. Далее вычислительная процедура повторяется: первые приближения напряжений U_1,1, U_2,1, U_3,1 подставляются в правые части системы (6.20) и вычисляются вторые приближения напряжений U_1,2, U_2,2, U_3,2. Таким образом, используя значения напряжений, полученных на предыдущем i-м шаге U_1,i, U_2,i, U_3,i, вычисляются новые приближения напряжений U_1,i+1, U_2,i+1, U_3,i+1 на (i+1)-м шаге:

U_1,i+1=Y₁₂'U_2,i +Y₁₃'U_3,i +J₁';

U_2,i+1=Y₂₁'U_1,i +Y₂₃'U_3,i +J₂';(6.21)

U_3,i+1=Y₃₁'U_1,i +Y₃₂'U_2,I +J₃'.

Вычислительный процесс заканчивается при достижении требуемой точности.

Метод Зейделяявляется модификацией метода простой итерации. Как и в методе простой итерации, дадим начальные приближения искомым напряжениям U₁=U_1,0, U₂=U_2,0, U₃=U_3,0. Идея метода заключается в том, что найденное по первому уравнению системы (6.20) первое приближение напряжения U_1,1 используется во втором уравнении при вычислении первого приближения напряжения U_2,1. Далее первые приближения напряжений U_1,1 и U_2,1 используются в третьем уравнении при вычислении первого приближения U_3,1.

Вычислительную процедуру метода Зейделя на произвольном (i+1)-м шаге можно записать системой уравнений

U_1,i+1=Y₁₂'U_2i +Y₁₃'U_3i +J₁';

U_2,i+1=Y₂₁'U_1,i+1+Y₂₃'U_3i +J₂'; (6.22)

U_3,i+1=Y₃₁'U_1,i+1+Y₃₂'U_2,i+1+J₃'.

Вычислительный процесс заканчивается при достижении требуемой точности. Метод Зейделя, как правило, надежнее и быстрее сходится до требуемой точности, чем метод простой итерации. Простота алгоритма метода Зейделя обусловила его преимущественное использование при практических расчетах установившихся режимов.