Связь между сингулярным и спектральным разложениями матрицы
Сингулярное разложение матрицы общего вида тесно связано со спектральными разложениями симметричных матриц
,
,
.
Рассмотрим эту связь подробно.
Утверждение 1. Пусть есть сингулярное разложение
-матрицы
в соответствии с (1). Если
симметричная матрица с СЗ
и СВ
, т.е.
есть спектральное разложение
, то в сингулярном разложении матрицы
,
, причем
.
Утверждение 2.Пусть есть сингулярное разложение
-матрицы
в соответствии с (1). Собственными значениями симметричной матрицы
являются
, а правые СНВ
— ортонормированные СВ
.
Доказательство.Для матрицы имеет место соотношение:
. (2)
Равенство (2) очевидно представляет спектральное разложение матрицы , причем
— ее СВ, а диагональные элементы
— СЗ.
Утверждение 3.Пусть есть сингулярное разложение
-матрицы
в соответствии с (1). Собственными значениями симметричной матрицы
являются
. Левые СНВ
— ортонормированные СВ
, соответствующие СЗ
.
Доказательство. Аналогично доказательству утверждения 2.
Утверждение 4.Пусть , где
— квадратная
-матрица, причем
есть сингулярное разложение
в соответствии с (1). Тогда
СЗ матрицы
— это числа
, а соответствующие нормированные СВ имеют вид
.
Доказательство. Поскольку матрица симметричная, то
. (3)
Из (3) вытекает, что — блочно-диагональная матрица, а значит ее спектр является объединением спектров блоков. Спектры блоков
,
— это
. Обозначим спектральное разложение матрицы
.
Поскольку
, (4)
т.е. (4) — спектральное разложение , то СЗ
— это квадраты СЗ
, а значит
СЗ
определяются как
, и первая часть утверждения доказана.
Для доказательства второй части проверим непосредственно, что вектор является СВ матрицы
:
. (5)
Рассмотрим составляющие правой части (5):
. (6)
Аналогично (6) показывается, что
. (7)
Учитывая (6) и (7), из (5) вытекает
,
из чего по определению следует, что — СВ матрицы
, отвечающий СЗ
, который после нормирования становится равным
.
Опираясь на установленную связь между сингулярным и спектральным разложениями соответствующих матриц, можно преобразовать алгоритмы решения симметричной проблемы СЗ в алгоритмы вычисления сингулярного разложения. Это преобразование выполняется не прямолинейно, поскольку сингулярное разложение обладает дополнительной структурой, которая часто может быть использована для повышения эффективности и точности алгоритмов.
Дата добавления: 2015-03-20; просмотров: 1479;