Сохранение ширины ленты матрицы в QR-, QL-алгоритмах. Необходимо отметить, что QR, QL-алгоритмы в общем случае сохраняют ширину ленты исходной матрицы
Необходимо отметить, что QR, QL-алгоритмы в общем случае сохраняют ширину ленты исходной матрицы. Для определенности рассмотрим далее QR-алгоритм. Пусть для ненулевой ленточной -матрицы построено QR-разложение:
где — ортогональная матрица с элементами ;
— верхняя треугольная матрица с элементами .
Пусть . Рассмотрим значения элементов последней строки матрицы :
, (7.3)
откуда вытекает, что .
Составляя уравнение, аналогичное (7.3) для , получим из него, что .
Первый ненулевой элемент в последней строке матрицы будет находится в той же позиции, что и первый ненулевой элемент в последней строке матрицы . Рассмотрев последовательно выражения для значений всех элементов , двигаясь по строкам снизу вверх, получим, что структура нижнего треугольника матрицы аналогична ленточной структуре нижнего треугольника матрицы :
На очередной итерации основного QR-алгоритма (без использования сдвигов для ускорения сходимости) получаем матрицу
. (7.4)
Таким образом, если исходная матрица была симметричной, то итерации QR-алгоритма сохраняют симметричность:
. (7.5)
Сохранение нулевих элементов (ленточной структуры) в нижнем треугольнике матрицы вытекает из вида и :
Действительно, при вычислении элементов последней строки матрицы получаем, что первым отличным от нуля может быть лишь элемент, стоящий на том же месте, что и первый отличный от нуля элемент последней строки матрицы :
Аналогичный результат в нижнем треугольнике получится и при вычислении элементов всех строк матрицы .
Сохранение исходной ленточной структуры матрицы в верхнем треугольнике матрицы вытекает из (7.5). Таким образом, соотношение (7.6) можно уточнить:
Замечание.Поскольку QR-алгоритм сохраняет ширину ленты матрицы, не имеет смысла приводить ленточную матрицу к трехдиагональному виду на подготовительном этапе, поскольку накладные вычислительные расходы такого приведения могут оказаться значительно превосходящими вычислительные расходы самого QR-алгоритма при работе с имеющейся ленточной матрицей.
Дата добавления: 2015-03-20; просмотров: 846;