Выбор структуры математической модели и вычисление ее параметров

Непосредственными результатами наблюдений (опытов) в процессе проведения эксперимента являются зависимости между входами x и выходами y, представленные, как правило, в табличной форме. Построение математической модели в параметрической форме требует обработки табличных данных. При этом следует учесть, что экспериментальные данные могут содержать систематические, случайные и грубые погрешности. Обычно погрешности измерений принято представлять в виде среднеквадратической погрешности σ и двумя границами интервала, в пределах которого истинное значение измеряемого параметра находится с заданной вероятностью (Δ_i, Δ_h).

На первом этапе построения математической модели необходимо выбрать вид (структуру) математической модели. Второй этап требует специальных вычислительных средств для определения параметров выбранной математической модели. Рассмотрим общий подход к подбору вида математической модели без использования каких-либо теоретических представлений о внутренней структуре моделируемого объекта. В математике такая задача носит название задачи о приближении функций. Для простоты примем объект с одним входом x и одним выходом y.

Пусть на некотором множестве задана система функций φ₀(x), φ₁(x), …, φ_m(x), которые в дальнейшем будем считать достаточно гладкими (например, непрерывно дифференцируемыми) функциями. Назовем эту систему основной.

Функции вида

где c₀, c₁, …, c_m – постоянные коэффициенты, называются обобщенными многочленами порядка m. В частности, если основная сис-
тема состоит из целых неотрицательных степеней переменной x, т. е. φ₀(x) = 1, φ₁(x) = x, …, φ_m(x) = x^m, то

есть обычный полином степени m.

Если

то

называется тригонометрическим полиномом (или тригонометрическим многочленом) порядка m.

Задача о приближении функций ставится следующим образом: данную функцию f(x) требуется заменить обобщенным многочленом Q_m(x) заданного порядка m так, чтобы отклонение (в смысле σ или
(Δ_i, Δ_h)) функции f(x) от обобщенного многочлена Q_m(x) на указанном множестве {x} было наименьшим. При этом многочлен Q_m(x) в общем случае называется аппроксимирующим.

Если множество {x} состоит из отдельных точек x₀, x₁, …, x_n,
то приближение называется дискретным. Если же {x} есть отрезок
a ≤ x ≤ b, то приближение называется интегральным.

На практике часто пользуются приближениями функций обычным и тригонометрическим полиномами.

В теории дискретного приближения функций имеет место задача интерполяции функций. В случае обычного полинома задача интерполяции формулируется следующим образом. Для данной функции f(x) найти полином Q_m(x) возможно низшей степени m, принимающей в заданных точках x_i (i = 0, 1, 2, …, n; x_i ≠ x_j при i ≠ j) те же значения, что и f(x), т. е. такой, что Q_m(x_i) = f(x_i) (i = 0, 1, 2, …, n). Такой полином называют интерполяционным, а точки x_i (i = 0, 1, 2, …, n) – узлами интерполяции.

Как известно, существует единственный полином степени не выше n, принимающий в точках x_i (i = 0, 1, 2, …, n) заданные значения. Поэтому можно положить n = m. Коэффициенты a₀, a₁, …, a_n полинома Q_n(x) можно определить из системы уравнений:

где

y_i = f(x_i) (i = 0, 1, 2, …, n).

Определитель этой системы линейных алгебраических уравнений есть так называемый определитель Вандермонда Δ ≠ 0, и, следовательно, система (4.11) имеет единственное решение.

Интерполяция дает возможность вычислить значения функции y =
= f(x) между заданными точками x_{i – 1} и x_i (i = 1, 2, …, n).

Пример 3. Выполним интерполяцию функции, заданную в табличной форме в пяти точках (см. ниже). Расчеты выполним в системе Mathcad.

Векторы данных:

Заполнение матрицы X:

Получение коэффициентов интерполяционного полинома:

Определение функции полинома:

График функции для интерполирующего полинома:

Определим значение функции в промежуточных точках со значениями 0,2 и 0,5.

Для сравнения выполним интерполяцию по тем же данным другими способами, заложенными в Mathcad; кусочно-линейной и сплайн-интерполяцией.

Графики интерполяционных функций:

Значения в заданных точках:

для полиномиальной

для линейной

для сплайн-интерполяции

Результаты вычислений в промежуточных точках достаточно сильно различаются между собой, и принятие той или иной модели может основываться на данных, внешних относительно использованных измерений.

Интерполяция является частным случаем аппроксимации, когда степень интерполяционного полинома равна числу измерений без единицы и n = m (число измерений равно n + 1, а число неизвестных коэффициентов модели равно m + 1). Когда n > m, в общем случае имеем задачу аппроксимации.

Для данной функции f(x) найти полином Q_m(x) степени m, который в заданных точках x_i (i = 0, 1, 2, …, n; x_i ≠ x_j при i ≠ j) доставляет минимум некоторой функции коэффициентов a_i (i = 0, 1, 2, …, m): S_m(a₀,
a₁, …, a_m). Такой полином называют аппроксимирующим. В общем случае Q_m(x) есть обобщенный многочлен вида (4.7).

Функцию S_m(a₀, a₁, …, a_m) можно выбрать в соответствии с методом наименьших квадратов как сумму квадратов отклонений полинома Q_m(x) от функции f(x_i) на заданном множестве точек

Такой способ носит название квадратичной аппроксимации.

коэффициенты аппроксимирующего полинома Q_m(x) вычисляют посредством решения системы линейных уравнений:

где

y_i = f(x_i) (i = 0, 1, 2, …, n) и верхний индекс T означает операцию транспонирования матрицы.

Система уравнений (4.13) получена дифференцированием критерия квадратичной аппроксимации (4.12) по искомым коэффициентам и приравниванию нулю полученных выражений. В случае обобщенного полинома (4.7) с произвольными функциями φ₀(x), φ₁(x), …, φ_m(x) в системе уравнений (4.13) вместо значений степеней x требуется подстановка значений соответствующих функций φ₀(x), φ₁(x), …, φ_m(x), вычисленных в заданных точках x.

Пример 4. Выполним аппроксимацию функции из примера 3 полиномами степени 3 и 2.

Для Q₃(x)

Заполнение матрицы X:

Получение коэффициентов аппроксимирующего полинома Q₃(x):

Определение функции полинома:

График функции для аппроксимирующего полинома Q₃(x):

Среднеквадратическая погрешность аппроксимации:

Для Q₂(x)

Заполнение матрицы X:

Получение коэффициентов аппроксимирующего полинома Q₂(x):

Определение функции полинома:

График функции для аппроксимирующего полинома Q₂(x):

Среднеквадратическая погрешность аппроксимации:

Пример 5. Выполним аппроксимацию данных, приведенных в табличной форме (см. ниже) в виде обобщенного многочлена Q₂(x) = c₀φ₀(x) + c₁φ₁(x) +
+ c₂φ₂(x), где функции φ_i(x) (i = 0, 1, 2) выбраны в виде

Данные эксперимента и вектор функция составляющих Q₂(x):

Вектор коэффициентов модели вычислим с помощью специальной функции Mathcad linfit(x, y, F)

Функция обобщенного многочлена и ее график:

Среднеквадратическая ошибка:

Существуют модели, которые не являются многочленами вида (4.7) и нелинейно зависят от параметров, как, например, функция

.

Здесь y нелинейно зависит от параметров a и b. К некоторым функциям такого вида применимо приведение нелинейной задачи к линейной по следующему способу.

Пусть задана система точек M_i(x_i, y_i). Вводятся новые переменные X и Y так, чтобы преобразованные точки N_i(X_i, Y_i) лежали на одной прямой. Например, степенная зависимость y = cx^a посредством логарифмирования приводится к линейной:

и линейная модель в новых координатах:

Здесь N_i(X_i, Y_i) = N_i(lg x_i, lg y_i). Некоторые функции, которые приводятся к линейной относительно коэффициентов задаче аппроксимации, представлены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Некоторые функции, допускающие преобразование к линейной
относительно коэффициентов задаче аппроксимации

№ п/п	Исходная функция	Линейная функция	Соотношения для преобразования
	y = axb	Y = α + bX	Y = lg y; X = lg x; α = lg a
	y = abx	Y = α + βx	Y = ln y; α = ln a; β = ln b

В тех случаях, когда невозможно перейти к линейной относительно коэффициентов задаче аппроксимации, выводятся подобные (4.13) нелинейные уравнения аналогичным способом, и их решение дает искомые коэффициенты.

Вопросы для самопроверки

Какие основные этапы можно выделить в модельном исследовании (построении модели)?

Какие существуют два основных способа формирования модели?

В чем заключается аналитический способ построения модели?

В чем заключается задача идентификации технических объектов?

Какой эксперимент называют активным; пассивным?

Какие выделяют три класса задачи идентификации технических объектов?

Как формулируется задача интерполяции функций?

Как формулируется задача аппроксимации функций?

Как вычислить коэффициенты полинома степени m при квадратичной аппроксимации?

Какие функции допускают приведение задачи приближения функций к линейной ?