Теорема существования и единственности задачи Коши.
Рассмотрим предварительно метод приближенного решения дифференциальных уравнений, обоснование которого будет дано в приведенной ниже теореме.
Метод Эйлера.
Метод Эйлера заключается в том, что искомая интегральная кривая уравнения (16.2), проходящая через точку (х0 , у0 ), заменяется ломаной, каждое звено которой касается интегральной кривой в одной из своих граничных точек (рис. 3).
у
h
h
y0 y1 y2
O x0 x1 x2 x
Рис. 3
Пусть требуется найти приближенное значение искомого решения при x = b. Разделим отрезок [x0 ,b] на п равных частей (полагаем, что b > x0) и назовем шагом вычисления h длину отрезка [xi-1 , xi ] . Заменим на отрезке [x0 , x1] интегральную кривую отрезком ее касательной в точке (х0 , у0). Ордината этого отрезка при х = х1 равна y1 = y0 + hy0΄, где у0΄ = f(x0 ,y0). Так же найдем
y2 = y1 + hy1΄, где y1΄= f(x1 ,y1);
y3 = y2 + hy2΄, где y2΄= f(x2 ,y2);
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
yn = yn-1 + hy΄n-1 , где y΄n-1 = f(xn-1 ,yn-1).
Можно предположить, что при построенные таким образом ломаные Эйлера приближаются к графику искомой кривой. Доказательство этого утверждения будет дано в следующей теореме:
Теорема 16.1 (теорема существования и единственности решения). Если в уравнении
функция f(x,y) непрерывна в прямоугольнике D:
(16.5)
и удовлетворяет в D условию Липшица:
| f(x, y1) – f(x, y2) | ≤ N | y1 – y2 |, (16.6)
где N – постоянная, то существует единственное решение ,уравнения (16.2), удовлетворяющее условию (16.3) , где
в D .
Замечание 1. Нельзя утверждать, что искомое решение будет существовать при , так как интегральная кривая может выйти из прямоугольника (16.5), и тогда решение может быть не определено.
Замечание 2. Условие Липшица (16.6) можно заменить более сильным требованием в D. Тогда по теореме Лагранжа , где . Таким образом, и . Поэтому .
Доказательство теоремы 16.1.
Заменим уравнение (16.2) с начальным условием (16.3) эквивалентным интегральным уравнением . (16.7)
Легко проверить, что функция, обращающая в тождество уравнение (16.2), будет решением и уравнения (16.7).
Построим ломаную Эйлера у = уп(х), исходящую из точки (х0 ,у0) с шагом на отрезке [x0 , x0 + H] (аналогично можно доказать существование решения на [x0 – H, x0]). Такая ломаная не может выйти за пределы D, так как угловые коэффициенты каждого ее звена по модулю меньше М. Теперь докажем последовательно три утверждения:
1) Последовательность у = уп(х) равномерно сходится.
2) Функция является решением интегрального уравнения (16.7).
3) Решение уравнения (16.7) единственно.
Доказательство 1). По определению ломаной Эйлера
при , или . (16.8)
Обозначим , тогда в силу равномерной непрерывности f(x) в D (16.9)
при , где при , так как , а и при . Интегрируя (16.8) по х в пределах от х0 до х и учитывая, что , получим:
. (16.10)
Так как п – любое целое положительное число, то для любого m > 0
, откуда
.
Тогда из (16.9) и условия Липшица следует, что
. Следовательно,
, откуда
при , то есть последовательность непрерывных функций уп(х) равномерно сходится при к непрерывной функции . Итак, утверждение 1) доказано.
Доказательство 2). Перейдем в (16.10) к пределу при :
. (16.11)
В силу равномерной сходимости уп(х) к и равномерной непрерывности f(x,y) в D последовательность f(x,yn(x)) равномерно сходится к f(x, ). Действительно, при , что выполняется при .
Следовательно, возможен переход к пределу под знаком интеграла. Учитывая, что , где при , получим из (16.11):
,
то есть удовлетворяет уравнению (16.7). Утверждение 2) доказано.
Доказательство 3). Предположим, что существуют два различных решения уравнения (16.7) у1(х) и у2(х), то есть | y1(x) – y2(x) | ≠ 0. Тогда, подставляя эти функции в (16.7) и вычитая полученные равенства друг из друга, получим:
, откуда
| y1(x) – y2(x)| =
≤ .Применим к этому неравенству условие Липшица: | y1(x) – y2(x)|≤ N | y1(x) – y2(x)|
=NH | y1(x) – y2(x)|. Если | y1(x) – y2(x)| ≠ 0, то полученное равенство: | y1(x) – y2(x)| ≤ NH | y1(x) – y2(x)| противоречиво, так как по условию теоремы . Следовательно, | y1(x) – y2(x)| = 0, то есть у1(х) ≡ у2(х).
Дата добавления: 2015-03-19; просмотров: 975;