Показатели безотказности невосстанавливаемых объектов

Вероятность безотказной работы P(t) – вероятность того, что в пределах заданной наработки t отказ объекта не возникает,

, (6)

где θ₁ – наработка объекта до отказа (непрерывная случайная величина); f (t) – функция плотности распределения случайной величины θ₁; F(t) – вероятность отказа (интегральная функция распределения случайной величины θ₁):

; t > 0. (7)

Откуда следует, что . (8)

Поскольку случайная величина наработки всегда положительна, плотность ее распределения обладает следующими свойствами:

– условие нормировки; ;

Эти свойства наглядно иллюстрируют графики на рис. 3 и 4. С ростом наработки вероятность безотказной работы невосстанавливаемого объекта P(t) монотонно уменьшается от 1 при t = 0, асимптотически приближаясь к 0 при t →∞ , а вероятность отказа F(t) растет от 0 до 1 (рис. 4).

Вероятность безотказной работы объекта в интервале наработки (t, t + ∆t) есть условная вероятность того, что объект находится в работоспособном состоянии на этом интервале наработки, определяемая при условии, что объект сохранил работоспособность к моменту t начала этого интервала:

, (9)

где P(B) – вероятность события B, состоящего в работоспособности объекта на интервале наработки (0, t) (рис. 5); P(A|B) – условная вероятность события A, состоящего в работоспособности объекта на интервале (t, t+∆t), определяемая при условии реализации события B; P(A∙B) – вероятность произведения (пересечения) случайных событий A и B ,т. е. вероятность работоспособности объекта на интервале (0, t+∆t).

Средняя наработка до отказа – математическое ожидание наработки объекта до отказа. Иначе говоря, есть «центр тяжести» распределения случайной величины θ₁:

. (10)

Таким образом, средняя наработка до отказа равна площади под кривой зависимости вероятности безотказной работы от наработки объекта.

Гамма-процентная наработка до отказа t_γ – наработка до отказа, которая обеспечивается для γ∙100% объектов рассматриваемого типа.

По определению,

. (11)

Вероятность отказа (интегральная функция распределения случайной величины θ₁ – наработки объекта до отказа), отнесенная к моменту t_γ, равна

(12)

т.е. гамма-процентная наработка до отказа есть нижняя (1–γ)∙100%-ная квантиль распределения случайной величины θ₁, а (1–γ)∙100% есть процент объектов, для которых отказы в течение наработки t_γ допустимы.

Интенсивность отказов λ(t) – условная плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого момента наработки t при условии, что до этого момента отказ не возник.

По определению,

, (13)

где F(∆t|t) – условная вероятность отказа объекта на интервале ∆t, определяемая при условии, что в момент t объект находился в работоспособном состоянии; P(∆t|t) – соответствующая вероятность безотказной работы.

Из (9) и (13) следует: .

Интегрируя, получаем , откуда

. (14)

Формулу 14 называют основной формулой надежности.

На типичной кривой изменения интенсивности отказов невосстанавливаемого объекта (или параметра потока отказов восстанавливаемого объекта) с ростом наработки (рис. 6) выделяют три основных участка:

1. Начальный период эксплуатации (приработка). Повышенный уровень интенсивности отказов на этом участке объясняется скрытыми дефектами изготовления, которые, проявляясь в начальный период эксплуатации, приводят к отказам объекта.

2. Период нормальной эксплуатации. В течение этого периода, когда уровень накопленных повреждений, связанных с износом, еще не настолько высок, чтобы вызвать ухудшение выходных параметров объекта, интенсивность отказов (параметр потока отказов) обычно имеет стабильно низкое значение. Его уровень определяется особенностями объекта, исходным качеством, режимами и условиями эксплуатации. Обычно в течение этого периода эксплуатации наблюдается несколько характерных для данного объекта видов внезапных отказов, которые в совокупности определяют уровень интенсивности отказов (параметра потока отказов) на этом участке.

3. Заключительный период эксплуатации (износ). В течение этого периода происходит прогрессирующее ухудшение выходных параметров объекта, обусловленное накоплением повреждений, вызванных износом и старением, что приводит к монотонному возрастанию интенсивности отказов (параметра потока отказов).

Параметр θ_t называют остаточной наработкой до отказа – это наработка объекта от момента контроля его технического состояния t до момента отказа θ₁:

θ_t=θ₁–t. (15)

Вероятность безотказной работы объекта, определяемая по его остаточной наработке, отсчитываемой с момента контроля технического состояния объекта t, равна

(16)

Следовательно, безотказность объекта, определяемая по его остаточной наработке, не зависит от изменения λ на интервале (0, t), т. е. до момента контроля технического состояния объекта.

Функция плотности распределения случайной величины θ_t – остаточной наработки до отказа

, (17)

где u = t + x.

Средняя остаточная наработка до отказа (математическое ожидание θ_t)

.(18)

Установленная наработка до отказа t_у – групповой показатель безотказности, соответствующий гамма-процентной наработке до отказа при уровне γ∙100% = 100%.

Данный показатель предполагает, что f(t) = 0 при t < t_у. В вероятностном аспекте t_у соответствует параметру сдвига. Например, в двухпараметрическом экспоненциальном законе распределения (рис.7) f(t)= λexp [–λ(t – c)] при t ≥ c ; f(t) = 0 при t < c.

Физический смысл показателя t_у состоит в том, что на интервале (0, t_у) отказы считаются невозможными событиями.

В области высокой надежности (P(t)→1; t< t_у), где вероятностные показатели надежности непредставительны, надежность характеризуют так называемым запасом надежности

K_н=X_max/X_ex, (19)

где X_max – предельное значение выходного параметра X объекта, соответствующее наступлению отказа; X_ex и X_exγ – предельные эксплуатационные значения выходного параметра по всей совокупности объектов и по γ∙100% объектов рассматриваемого типа (рис.8).

На интервале наработки (0, t_у) запас надежности объекта К_н> 1; начиная с момента t=t_у, запас надежности объекта считается исчерпанным (К_н =1); при t > t_у отказы физически возможны. Скорость изменения запаса надежности объекта

. (20)