Прямая и обратная геодезические задачи

Из всего многообразия задач, решаемых в геодезии, выделяют две: прямую и обратную геодезические задачи. Прямая геодезическая задача заключается в определении координат (X_В;Y_В) конечной точки отрезка АВ прямой линии по его длине (горизонтальному проложению d), направлению (дирекционному углу α или румбу r) и координатам (X_А;Y_А) начальной точки.

Рис.1.12. Прямая и обратная геодезические задачи

(14)

где (15)

Формулы (15) справедливы при любых значениях α..

При проектировании конечных точек отрезка на координатные оси образуется прямоугольный треугольник (Рис.1.12), в котором гипотенузой является длина отрезка, а катетами – приращения координат. Продлим отрезок до пересечения его с осью Х. Угол в точке пересечения положительного направления оси Х с линией есть дирекционный угол линии. Поскольку синусы (sin) и косинусы (cos) углов, различающихся на 180,° одинаковые то для вычисления приращений координат используют острые углы – румбы, определяя знаки приращений по четверти, в которой расположен отрезок. Решая таким путем многократно прямую геодезическую задачу можно вычислить координаты всех точек поворота ломаной линии, если известны координаты начальной точки, длины отрезков и их дирекционные углы.

Обратная геодезическая задача заключается в нахождении длины (горизонтального проложения ) и направления (румба и дирекционного угла) отрезка прямой линии по координатам его конечных точек. Возможны два пути решения: 1) Сначала определяют направление (дирекционный угол), затем длину отрезка; 2) Сначала определяют длину отрезка, а затем его направление. Основным считается первый путь, второй используется для контроля.

Первый путь решения.

1.Заданы прямоугольные координаты Х и У конечных точек отрезка, его длина d и

дирекционный угол a.

2.Вычисляют приращения координат D X и DY , вычитая из значений координат конечной точки отрезка координаты его начальной точки. 3.Вычисляют румб по формуле r = arctg DY/ D X = arctg (Y₂ – Y₁)/ (X₂—X₁). 4.Вычисляют дирекционный угол по формуле зависимости между румбом и дирекционным углом, предварительно определив по знакам приращений координат номер четверти, в которой расположен отрезок (рис. 1.11 и табл.
5.Вычисляют длину отрезка по формулам:d = DX/ cosa= DY/ sina=Ö DX² + DY² .

Второй путь решения.

1. Определяют длину отрезка по теореме Пифагора d = ÖDX²+ DY²

2.Вычисляют румб (два значения): r = arccos DX / d ; r = arcsin DY/ d .

3.Вычисляют дирекционный угол по формулам зависимости между румбами и

дирекционными углами, если расхождение двух значений румба не превышает точности вычислений.

Результаты вычислений помещают в табл.

Второй вариант используется для контроля.