И для произвольного процесса, когда одновременно изменяются

и давление и объём (без индекса)

Примечания к таблице 1:

^*)Для газов и газовых смесей удельная объёмная теплоёмкость обычно рассчитывается по формуле (1) для нормальных условий, то есть для объёма V_о, который этот газ (или газовая смесь) занимал бы при нормальных условиях (н.у.): р_о = 101325 Па и t_о = 0 °С. Один кубический метр газа, находящегося при н.у., называется нормальным метром кубическим и обозначается 1 нм³.

^**) var – означает изменение величины (от латинского variare – изменяться).

5.2. Соотношения между удельными теплоёмкостями для газов и газовых смесей

При проведении расчётов, связанных с газами и газовыми смесями, всегда известной величиной является молярная масса газа μ (или кажущаяся молярная масса смеси μ_см), кг/моль. Зная эту величину легко получить удобные формулы для пересчёта удельных теплоёмкостей одного типа в другой.

Для этого воспользуемся двумя следующими соотношениями. Из определения молярной массы вещества (это масса одного моля) следует, что:

М = μ · N, (3)

где М – масса вещества, кг; N – число молей вещества, моль; μ – молярная масса вещества, кг/моль.

Из следствия закона Авогадро известно, что 1 моль любого идеального газа занимает при н.у. объём 22,4 · 10^–3 нм³/моль. Из этого следует, что плотность любого идеального газа при н.у. определяется соотношением:

, (4)

где ρ_о – плотность газа при н.у., кг/нм³; μ – молярная масса газа, кг/моль.

Воспользовавшись (4) можно вычислить объём, который газ (или газовая смесь) будет занимать при н.у.:

, (5)

где V_о – объём, который газ будет занимать при н.у., нм³; М – масса газа, кг.

Из определений средних теплоёмкостей (10.1) и (1), (2) получаем путём очевидных преобразований:

, м³/кг; , моль/кг; , моль/м³, (6)

где М, V, N – масса, объём и число молей рассматриваемого вещества соответственно, кг, м³, моль.

Подставляя в правые части равенств (6) выражения, которые вытекают из (3) и (5), получаем формулы пересчёта теплоёмкостей для газов и газовых смесей, считая V = V_o (см. примечание табл. 1):

, нм³/кг;

, моль/кг; (7)

, нм³/моль.

Повторив рассуждения для истинных теплоёмкостей, получаем аналогичные соотношения:

, нм³/кг;

, моль/кг; (8)

, нм³/моль.

5.3. Расчёт значений средних теплоёмкостей

Рассчитать значение средней удельной теплоёмкости в некотором заданном интервале температур от t₁ до t₂ °С можно как по таблицам средних теплоёмкостей, так и по эмпирической формуле для истинной теплоёмкости.

Расчёт по таблицам ведётся на базе формулы определения средней теплоёмкости (см. раздел 10 формулу (10.2)):

, (9)

где – средняя удельная теплоемкость в интервале температур от t₁ до t₂, Дж/(кг · К).

При этом значение теплоты q, которую необходимо подвести к 1 кг вещества чтобы нагреть его от t₁ до t₂ °С, определяется как разность двух теплот: теплоты , которая затрачивается на нагрев от 0 до t₂ °С и теплоты , которая затрачивается на нагрев от 0 до t₁ °С:

, Дж/кг. (10)

Для вычисления и в таблицах выбираем значение средней теплоёмкости при температуре t₂ – это средняя теплоёмкость в интервале температур от 0 до t₂ °С: .

Соответственно будем иметь:

. (11)

Аналогичным образом получаем:

, (12)

где – табличные данные средней теплоёмкости при температуре t₁, Дж/(кг·К).

После подстановки (11) и (12) в (9) окончательно получаем формулу:

. (13)

По формуле для истинной теплоёмкости значение средней теплоёмкости в интервале температур от t₁ до t₂ определяется как среднеинтегральное от функции с(t) в данном интервале температур.

Пусть эмпирическая формула для истинной удельной теплоёмкости имеет вид, аналогичный (10.6) (см. раздел 10):

с(Т) = a₁ + a₂ · t + a₃ · t ^–2, (14)

где t – температура, ^oC; a₁, a₂ и a₃ – известные для конкретного вещества коэффициенты.

Тогда формула для вычисления средней теплоёмкости в интервале температур от t₁ до t₂ имеет вид:

. (15)

5.4. Теплоёмкость смеси идеальных газов

Рассмотрим идеальную газовую смесь, состоящую из n компонентов, масса которой М, кг. Для наглядности будем считать, что смесь нагревается в интервале температур равном одному градусу. Для нагрева такой смеси на один градус Цельсия (или Кельвина) необходимо температуру каждого из компонентов повысить на один градус.

Следовательно, к каждому компоненту необходимо подвести теплоту Q_i, которая повысит температуру этого i-го компонента на один градус:

Q_i = m_i · c_i · 1, Дж, (16)

где m_i – масса i-го компонента, кг; c_i – удельная массовая теплоёмкость i-го компонента, Дж/(кг·К).

Очевидно, что количество теплоты, необходимое для нагрева всей смеси на один градус Q_см, равно сумме теплот, необходимых для нагрева каждого компонента:

, Дж. (17)

С другой стороны по определению удельной массовой теплоёмкости смеси с_см имеем:

Q_см = М · с_см · 1, Дж. (18)

Исходя из (17) и (18) можем записать:

. (19)

После деления обоих частей (19) на М получаем формулу для расчёта удельной массовой теплоёмкости смеси:

, Дж/(кг·К), (20)

где g_i – массовая доля компонента, кг/кг.

Так как химический состав смеси всегда задан, то значения массовых долей компонентов g_i известны и по формуле (20) всегда можно рассчитать с_см.

Повторив рассуждения для объёмных и мольных удельных теплоёмкостей, можно легко получить аналогичные формулы:

с΄_см = , (21)

μс_см = , (22)

где и μс_см – удельные объёмная и мольная теплоёмкость смеси соответственно, Дж/(нм³·К), Дж/(моль·К); r_i – объемная доля i-го компонента смеси; k_i – мольная доля i-го компонента смеси; c'_i и μc_i – удельные объёмная и мольная теплоемкость i-го компонента смеси, Дж/(нм³·К), Дж/(моль·К).

В формулах (21) и (22) следует учитывать, что объёмные доли численно равны мольным долям r_i = k_i (см. п. 3.2. Приложения 3).

Таким образом, при заданном химическом составе смеси значения r_i известны и по формулам (21) и (22) всегда можно рассчитать и μс_см.

Следует отметить, что по формулам (20) – (22) могут быть рассчитаны средние и истинные теплоёмкости как при постоянном давлении, так и при постоянном объёме.