Решение задач интерполяции и экстраполяции

 

Пусть на интервале [a,b] заданы n+1 опорных (узловых) точек a £ xo< x1 < x2 <...< xn £ b. Пусть, кроме того, заданы n+1 действительных чисел yi(i=0, 1,2,...,n) (например, как значения функции в узловых точках). Под задачей интерполяции понимают нахождение многочлена In(x) степени не больше n такой, что In(xi)=yi для 0 £ i £ n.

Интерполяцию обычно применяют тогда, когда относительно f известны только дискретные значения функции y=f(x), и, чтобы вычислить другие ее значения между узловыми точками (интерполяция) или за отрезком узловых точек (экстраполяция), ее приближают многочленом In(x), причем f(xi)=In(xi) (i=0,1,2,...,n).

Всегда существует только один интерполяционный многочлен, который может быть представлен в различной форме.

Форма Лагранжа: In(x)= yi×Li(x);

Li(x)= .

Нетрудно видеть, что Li(xi)=1, Li(xk)=0 при k¹j, и, следовательно, Ln(xi)=yi.

Форма Ньютона: In(x)= сiNi(x), N0=1,

Ni(x)=(x-x0)(x-x1)...(x-xi-1) (i=1,2,...,n),

Ci(i)=[x0x1x2...xi]=[xixi-1xi-2...x0],

где [xixi-1xi-2...x0]= ([xixi-1xi-2...x1]-[xi-1xi-2...x0]),

[xi]=yi (i=0,1,2,...,n).

Выражение [x0x1x2...xi] называется разделенной разностью. Для определения многочлена в форме Ньютона применяют разностную схему или схему спуска (см. литературу).

Пример. Нахождение интерполяционного многочлена.

Пусть после опыта получены следующие пары: x1=4, y1=1; x2=6, y2=1; x3=8, y3=1; x4=10, y4=1.

Многочлен Ньютона I3(x)=

=1+1×(x-4)+ (x-4)(x-6)+ (x-4)(x-6)(x-8)= (2x3-27x2+142x-240).








Дата добавления: 2015-03-11; просмотров: 1404;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.003 сек.