Центр тяжести тела

Рассмотрим материальное тело, расположенное вблизи поверхности Земли (в поле земного притяжения). Допустим сначала, что тело состоит из конечного числа материальных точек, другими словами – частиц, размерами которых можно пренебречь. На каждую частицу действует сила тяжести . Если размеры тела малы по сравнению с размерами Земли, то систему сил тяжести частиц можно рассматривать как систему параллельных сил, направленных в одну сторону. Такая система сил всегда имеет равнодействующую

называется весом тела. При любом изменении ориентации тела по отношению к Земле силы тяжести частиц остаются вертикальными, т.е. они поворачиваются по отношению к телу вокруг своих точек приложения. Линия действия силы тяжести тела при этом всегда будет проходить через определенную точку — центр параллельных сил, который в рассматриваемом случае называется центром тяжести тела. Таким образом, положение центра тяжести тела, состоящего из конечного числа частиц, можно определить по формуле (4.2):

(4.3)

При определении положения центра тяжести сплошного тела это тело разбивается сечениями, параллельными координатным плоскостям, на элементарные объемы (Рис.5.6) и центр тяжести тела определяется как предел последовательности радиусов–векторов центров тяжести системы элементарных объемов (частиц) при объеме каждой частицы, стремящемся к нулю:

Рис.4.2

где – радиус–вектор центра элементарного объема; – вес частицы.

Этот предел представляет собой, по определению, интеграл

При вычислении подобных интегралов переходят к интегрированию по объему, для чего вводится понятие удельного веса

где — элемент объема. Таким образом,

(4.4)

Формула (5.7) является наиболее общей для определения положения центра тяжести сплошного тела.

Если удельный вес тела не зависит от координат, тело называется однородным. Для однородных тел, полагая в формуле (4.4) , получаем:

(4.5)

где – объем тела.

Если однородное тело представляет собой пластину постоянной толщины то где – площадь поверхности пластины. В этом случае для определения положения центра тяжести тела необходимо вычислить поверхностный интеграл:

(4.6)

Если однородное тело представляет собой стержень с постоянной площадью поперечного сечения , то и формула (4.5) принимает вид:

(4.7)

где – длина стержня.

Во многих случаях положение центра тяжести тела можно определить при помощи весьма простых методов. Рассмотрим некоторые из них.

Симметрия однородных тел. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости.

Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела лежит на этой оси; если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела совпадает с его центром симметрии.

Метод разбиений состоит в том, что тело разбивается на конечное число частей, положение центров тяжести которых известно. Положение центра тяжести тела определяется по формуле (5.6).

Метод дополнений или метод отрицательных масс представляет собой частный случай метода разбиений, применяется для тел имеющих вырезы (полости), вес которых (для однородных тел – объем или площадь) считается отрицательным.