Примеры решения задач. 1. Найти активность радона, образовавшегося из = 1,0 г радия за одни сутки

1. Найти активность радона, образовавшегося из = 1,0 г радия за одни сутки. Найти также максимальную активность радона. Периоды полураспада радия и радона соответственно равны лет, сут.

Решение. Используя соотношения (8) и (10), запишем для искомой активности

.

Входящие сюда величины выразим через данные , , по формулам:

и .

Тогда, произведя сокращения, имеем

.

Это общая формула, выражающая закон изменения со временем активности одного радиоизотопа (дочернего), полученного в процессе распада другого (материнского). Если учесть вытекающие из условия соотношения и , эту формулу можно упростить. Из первого неравенства следует, что можно пренебречь величиной в разности - . В силу второго неравенства можно принять за единицу первый член, стоящий в скобках. Тогда найдем

.

Произведя расчет, получим

расп/с,

или

Ки =0 б17 Ки.

Анализируя полученную приближенную формулу, с учетом неравенств и , видим, что с ростом времени t величина, стоящая в скобках, приближается по экспоненте к единице. Следовательно,

расп/с=1б0 Ки.

2. Определить начальную активность радиоактивного препарата магния-27 массой 0,2 мкг, а также его активность через время 6 часов.

Решение. Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отношением числа dN ядер, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу

А = - , (1)

знак "-" показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает.

Для того, чтобы найти dN/dt, воспользуемся законом радиоактивного распада

N = N_o e^{- t}, (2)

где N - число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, в момент времени t, N_o - число радиоактивных ядер в момент времени, принятый за начальный (t=0), - постоянная радиационного распада.

Продифференцируем выражение (2) по времени

dN/dt = - N_oe^{- t}. (3)

Исключив из формул (1) и (3) dN/dt, находим активность препарата в момент времени t

А = N_oe^{- t} . (4)

Начальную активность А_о препарата получим при t = 0

А_о = N_{o .} (5)

Постоянная радиоактивного распада связана с периодом полураспада Т_1/2 соотношением

^. (6)

Число N_o радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, равно произведению постоянной Авогадро N_A на количество вещества данного изотопа

N_o = N_A = N_{A .} (7)

где m - масса изотопа, m - молярная масса.

С учетом вырaжений (6) и (7) формулы (5) и (4) принимают вид:

А_о = N_A , (8)

A = N_A . (9)

Произведя вычисления и учитывая, что Т_1/2 = 600 с; ln2 = 0,693; t = 6 ч = 63,6^.10³ с = 2,16^.10⁴ с, получим

А_о= Бк = 5,13 ^. 10¹² Бк =

= Ku ,

Бк = 46^.10^-10 Ku.

3.При археологических раскопках были обнаружены сохранившиеся деревянные предметы, активность ₆С¹⁴ которых оказалась равной 10⁶ распадов в минуту на 1 г содержаще-гося в них углерода. В живом дереве происходит в среднем 14,5 распадов за минуту на 1 г углерода. Исходя из этих данных, определить время изготовления обнаруженных предметов.

Решение. Известно, изотоп ₆С¹⁴ является радиоактивным, его период полураспада Т_1/2(₆С¹⁴) = 5700 лет.

Найдем число атомов ₆С¹⁴ в 1 г.

N = (m/A) N_A = (1/14) 6,02·10²³ =0,42·10²³.

t₀ – настоящий момент времени,

t_* - момент времени, когда были изготовлены деревянные предметы.

Число распадающихся атомов ₆С¹⁴ в момент t₀ и t_* за 1 мин равно ∆N₀ = λ·N₀·∆t; ∆N_* = λ·N·∆t;

Активность пропорциональна числу атомов a₀ = λ·N₀

Активность радионуклида со временем изменяется по экспоненте a_* = a₀·exp(-λ·t_*). Отсюда ln(a₀/a_*)=λ·t_*=(ln2/Т_1/2)·t_*.

Численное значение t_* равно t_* = ln(a₀/a_*)·Т_1/2/ln2 = ln(14,5/10) 5700/0,693 = 3056 лет.

Ответ: деревянные предметы были изготовлены примерно за 3056 лет до настоящего времени.

6.В результате атмосферных испытаний и связанных с ними глобальных выпадений радионуклидов содержание цезия-137 в оленине в северных районах СССР к 1964 г. достигло 1628 Бк/кг. Сколько лет должна храниться такая оленина в холодильниках, чтобы ее удельная активность снизилась до 592 Бк/кг – предельно допустимого загрязне-ния мясных продуктов цезием-137, регламентированного белорусскими нормативами 1990 – 91 г. Целесообразно ли столь длительное хранение оленины?

Решение. Активность изменяется по экспоненте a = a₀·exp(-λ·t). Следовательно, (a₀/a_*) = exp(λ·t_*). Отсюда время хранения оленины в холодильнике равно

t_* = ln(a₀/a_*)×T_1/2/ln2 = ln(628/592)·30,2/0,693 = 44 года.

Ответ: столь продолжительное время хранения оленины в холодильнике для снижения удельной активности цезия следует считать экономически нецелесообразным.

7.Согласно белорусским нормативам 1990 – 91 г активность цезия-137 в пшенице (зерне) должна быть на уровне 370 Бк/кг. Сколько времени пшеница урожая 1990 г, имеющая предельно допустимую активность, должна храниться в элеваторе, чтобы ее активность снизилась до 0,06 Бк/кг –средней активности по цезию-137, произведенной в 1963 г. в СССР? Целесообразно ли такое хранение?

Решение. Удельная активность зерна, содержа-щего радионуклид цезий-137, изменя-ется по экспоненте a = a₀·exp(-λ·t).

В конкретном случае имеем такое

соотношение: a₀/a_СР = exp(λ·t_СР), где t_СР–среднее время хранения зерна на элеваторе. Отсюда

t_СР = ln(a₀/a_СР)·T_1/2/ln2 = ln(370/0,06) 30,2/ln2 = 380 лет.

Ответ: такое зерно хранить не следует.