Примеры решения задач. 1. Зная постоянную распада ядра, определить вероятность Р того, что ядро распадается за промежуток времени от 0 до t.

1. Зная постоянную распада ядра, определить вероятность Р того, что ядро распадается за промежуток времени от 0 до t.

Решение. Процесс радиоактивного распада носит статистический характер, а это значит, что если многократно повторять опыты с радиоактивным препаратом, содержащим достаточно большое начальное число ядер , то за промежуток времени от 0 до t распадается каждый раз одна и та же доля ядер . Эта величина, характеризующая относительную частоту события – распада ядра, и принимается за вероятность Р распада ядра в течение данного промежутка времени. Таким образом

где - число нераспавшихся ядер к моменту времени t. Подставив в это равенство вместо N его значение по закону радиоактивного распада и произведя сокращение, получим ответ:

.

2. Определить, сколько ядер в =1,0 мг радиоизотопа церия распадается в течение промежутков времени:

1) =1с; 2) =1 год.

Период полураспада церия Т=285 сут.

Решение. Задача решается с помощью закона радиоактивного распада.

1. Так как , то можно считать, что в течение всего промежутка число нераспавшихся ядер остается практически постоянным и равным их начальному числу . Тогда для нахождения числа распавшихся ядер применим закон радиоактивного распада, записав его так:

или учитывая, что период полураспада Т и постоянная распада связаны соотношением

Чтобы определить начальное число ядер (атомов) , умножим постоянную Авогадро на число молей , содержащихся в данном препарате:

где - начальная масса препарата, - молярная масса изотопа , численно равная (приблизительно) его массовому числу. С учетом предыдущего выражения получим

.

Выразим числовые значения величин, входящих в полученную формулу, в единицах СИ:

Произведя вычисления с учетом того, что ln2 = 0,693, найдем .

2. Так как теперь - величины одного порядка, то дифференциальная форма закона радиоактивного распада здесь неприменима. Поэтому для решения задачи воспользуемся интегральной формой закона, справедливой для любого промежутка .

Тогда получим .

Или .

Так как , то уравнение принимает более простой вид

.

Произведя вычисления, получим .

3. Радиоизотоп с постоянной распада превращается в радиоизотоп с постоянной распада . Считая, что в начальный момент препарат содержал только ядра изотопа , найти, через сколько времени активность радиоизотопа достигнет максимума?

Решение. Активность препарата пропорциональна числу наличных ядер N этого препарата. Поэтому активность а радиоизотопа достигнет максимума тогда, когда максимальным будет число ядер этого радиоизотопа. Закон изменения со временем числа ядер выражается формулой (3). Для отыскания промежутка времени t, которому соответствует максимум функции , продифференцируем эту функцию по времени и приравняем к нулю производную:

Отсюда

Решив это уравнение относительно t, найдем искомое время