Универсальное четырехфермионное (V-A)- взаимодействие с заряженными и нейтральными токами

Ток в квантовой теории поля – оператор плотности четырехмерного тока описывает превращение одной частицы в другую или рождение пары частица-античастица.

Согласно универсальной теории слабого взаимодействия гамильтониан четырех фермионного слабого взаимодействия представляет собой произведение двух токов j, каждый из которых является комбинацией векторного V и аксиального A токов (V-A)-взаимодействие.

(2.54)

здесь знак + означает эрмитовое сопряжение, = (ct, x₁ ,x₂ ,x₃) - пространственно-временная точка, ( = 0, 1, 2, 3) - индекс 4-фермионного тока, по которому предполагается суммирование.

Ток составлен из операторов рождения и уничтожения пары фермионов. Символически, опуская векторный индекс , заряженный ток можно записать в виде

(2.55)

заряженный ток недиагонален, т.е.переводит один лептон в другой лептон, один кварк в другую линейную комбинацию.

Например, первое слагаемое в (2.55) равно

(2.56)

где -оператор рождения электрона, -оператор уничтожения электронного нейтрино, -матрицы Дирака, преобразуется как вектор при преобразованиях Лоренца и пространственной инверсии, - как аксиальный вектор. Три последних оператора в (2.55) являются линейными комбинациями операторов рождения кварков, так что кварковый заряженный ток состоит из девяти слагаемых.

Векторно-аксиальная структура (V-A) токов приводит к характерной зависимости реакций слабого взаимодействия от спинов участвующих частиц. Это связано с тем, что матрица ( ), действуя на волновую функцию фермиона, выделяет из неё состояния с левой спиральностью. В этом случае спин частицы направлен против импульса частицы, т.е. против направления движения частицы.

Заряженный слабый ток – оператор теории слабого взаимодействия отвечает за переходы, при которых электрический заряд начальных и конечных частиц меняется на единицу элементарного электрического заряда. Заряженный слабый ток описывает взаимодействие лептонов и кварков с полем заряженных промежуточных векторных бозонов . Он превращает нейтрон в протон, электрон в нейтрино. Заряженный ток равен сумме лептонного тока и кваркового тока , каждый из которых является суммой векторного и аксиального токов.

(2.57)

где = (ct, x₁ ,x₂ ,x₃) - пространственно-временная точка. - = 0, 1, 2, 3.

В заряженный лептонный ток входят только левые компоненты полей лептонов

(2.58)

где -операторы полей заряженных лептонов. - операторы нейтрино.

Через операторы полей u(x), d(x), s(x ) кварков заряженный ток Каббибо записывается так

(2.59)

При учете дополнительного очарованного с-кварка к току Каббибо необходимо добавить ток ГИМ ( Ш. Глэшоу, Дж. Илиопулос, Л. Майани 1970г.):

(2.60)

где с(х) – оператор поля с-кварка.

Взаимодействие заряженного тока с полем промежуточных векторных бозонов описвается плотностью лагранжиана

(2.60)

где -поле заряженных промежуточных векторных бозонов , g-безразмерная константа взаимодействия (в единицах с = 1, ). - эрмитово сопряжение.

Плотность эффективного гамильтониана взаимодействия заряженных токов имеет вид

(2.61)

где -ток, эрмитово сопряженный , -фермиевская константа слабого взаимодействия.

Полный заряженный адронный ток для трех кварковых дублетов

(2.62)

Кварковые комбинации определяются матрицей Кобаяши-Маскава

(2.63)

где , (2.64)

равенство означает,что этот элемент очень мал.

Унитарная матрица (Кобаяши, Маскава 1973) зависит от трех углов Эйлера и одной фазы

(2.65)

где

Если фаза отлична от нуля, то это означает, что слабое взаимодействие не инвариантно относительно СР-преобразования.

Нейтральный ток- оператор, описывающий взаимодействие кварков и лептонов с полем нейтрального промежуточного бозона Z⁰. В этих переходах не меняется электрический заряд конечных и начальных кварков и лептонов. Нейтральный ток состоит из суммы лептонного и адронного (кваркового) тока, каждый из которых является суммой векторного и аксиального токов.

(2.66)

где = (ct, x₁ ,x₂ ,x₃) - пространственно-временная точка. - =0, 1, 2, 3

Взаимодействия с участием нейтральных токов не сохраняют пространственную четность. Примером процесса с нейтральными лептонным и адронным токами является упругое рассеяние нейтрино на протоне .

Взаимодействие нейтрального тока с полем нейтрального бозона описывается полностью плотностью лагранжиана

(2.67)

g-безразмерная константа взаимодействия (в единицах с = 1, ) связана с электрическим зарядом е и углом Вайнберга соотношением , в области перeдаваемых импульсов много меньших массы зет-бозона. Bзаимодействие нейтральных токов описывается плотностью гамильтониана

(2.68)

-фермиевская константа слабого взаимодействия,

Полный слабый нейтральный ток содержит вклады от всех лептонов и всех кварков:

(2.69)

важным свойством нейтральных токов является их дагональность. Они переводят каждый лептон или кварк сам в себя.

Нейтральный ток каждого лептона и кварка определяется электромагнитным током и током третьей компоненты слабого изоспина

(2.70)

Нейтральный ток для нейтрино (первое слагаемое в (2.69)

(2.71)

- оператор нейтринного поля,

Нейтральный ток для электрона (электромагнитный ток )

, (2.72)

где содержит операторы уничтожения позитрона и рождения электрона, - содержит операторы уничтожения электрона и рождения позитрона в пространственно –временной точке х . В другой записи (четвертое слагаемое в(2.69)

(2.73)

здесь - оператор электронного поля, черта над операторами означает дираковское сопряжение. , -матрицы Дирака. Важнейшее свойство электромагнитного тока его сохранение , является следствием калибровочной инвариантности квантовой электродинамики.

Вионы (промежуточные векторные бозоны) – кванты слабого взаимодействия, массивные частицы со спином единица: W⁺, W ^--, Z⁰ . Масса равна 80,22 Гэв, масса Z⁰ равна 91,173 Гэв. Положительно и отрицательно заряженные дубльве–бозоныW^+,- осуществляют взаимодействие заряженных токов. Нейтральный зет-ноль бозон Z⁰ осуществляет взаимодействие нейтральных токов. См рис.2.19. Заряженный W-бозон в 70% случаев распадается в адронные состояния и в 30% случаев в лептонные состояния типа (лептон, нейтрино). Нейтральный бозон распадается в 71% в адронные состояния типа (лептон, антилептон) и (нейтрино, антинейтрино). см. Табл.2.4. Фермиевская константа слабого взаимодействия равна = 10^-49 эрг см³ в системе СГС или 1,1 10^-5 (Гэв)² в системе, где. .

, (2.74)

где -постоянная тонкой структуры.

В 80 годы 20 века было установлено, что слабое и электромагнитное взаимодействия это различные проявления единого электрослабого взаимодействия.

Если «выключить» слабое взаимодействие, то погасло бы Солнце, так как прекратился бы водородный цикл сгорания протонов с образованием гелия. Без слабого взаимодействия были бы стабильны нейтрон, мюон, пи-мезон, странные и очарованные частицы.

Феймановские диаграммы для слабого взаимодействия

Для слабого взаимодействия на рис.2.17. показаны вершины диаграмм и диаграммы рассеяния нейтрино и антинейтрино на электроне, а также диаграмма для распада мюона.

Рис. 2.17. Вершины феймановских диаграмм для слабого взаимодействия. В левой колонке показаны элементарные узлы для превращений лептонов. Заряженные вионы изменяют электрический заряд лептонов. Нейтральный бозон осуществляет взаимодействие нейтральных токов. В Правой колонке показаны аналогичные элементарные узлы для превращений кварков по каналу слабого взаимодействия.

Рис.2.18. Феймановская диаграмма для вклада Рис.2.19. Феймановская диаграмма

заряженного тока в сечение рассеяние для вклада нейтральных лептонных

антинейтрино на электроне. токов в упругое рассеяние нейтрино на

на электроне

Рис.2.20. Диаграмма для реакции распада отрицательного мюона с участием векторного бозона. .