Формулы Брейта-Вигнера

Ядерные реакции под действием нейтрона протекают в два этапа (Н. Бор 1936 г.): 1.Образование составного ядра О^* в квазистационарном состоянии с энергией возбуждения

, (1.68)

где ε_n - энергия связи нейтрона в ядре О^* , Т ‘ – кинетическая энергия нейтрона в системе центра инерции (ядро О^*).

Входной канал реакции .

2.Распад промежуточного ядра после длительного времени жизни τ ~ 10^-14 сек происходит по каналу радиационного захвата нейтрона (n,γ) или по каналу неупругого рассеяния (n,n’). Другие каналы для простоты здесь мы рассматривать не будем. Вероятность распада составного ядра

(1.69)

- полная ширина уровня составного ядра, - нейтронная ширина уровня

- радиационная ширина уровня, - парциальная вероятность распада по нейтронному каналу, - относительная вероятность распада по нейтронному каналу, - полная относительная вероятность распада составного ядра.

Спектр уровней энергии составного ядра остается дискретным, если энергия возбуждения ядра немного превышает энергию присоединения нейтрона W> ≈ 8 Мэв. В этом случае расстояние между уровнями составного ядра Δ ~1 эв >>Г ≈ 0,1 эв больше ширины уровней этого ядра, т.е. уровни не перекрываются.

Если энергия налетающего нейтрона в системе центра инерции близка к энергии одного из уровней составного ядра, то вероятность образования составного ядра становится особенно большой. Сечение ядерной реакции резко возрастает, образуя резонансный максимум. Резонансные энергии соответствуют квазидискретным уровням составной системы.

Вероятность p нахождения составного ядра с энергией W около квазистационарного уровня W₀ определяется дисперсионным соотношением, (математической функцией «лоренцианом»)

. (1.70)

Поскольку кинетическая энергия нейтрона связана с энергией возбуждения составного ядра формулой (1.68), можно заменить (W-W₀)² = (T’-T₀’)².

Cечение реакции под действием нейтрона равно сечению σ^* образования составного ядра, умноженному на относительную вероятность η распада ядра по данному каналу.

Сечение радиационного захвата:

(1.71)

Сечение неупругого рассеяния:

. (1.72)

Сечение σ^* образования составного ядра равно геометрическому сечению S_l, умноженному на коэффициент прилипания ξ _l

(1.73)

Геометрическое сечение S_l равно доле всех частиц с орбитальным моментом l, летящих на ядро. Это площадь кольца со средним радиусом ρ_l с центром в ядре. Расстояние, на котором нейтрон пролетает около ядра , где -длина волны де Бройля. Тогда сечение

. (1.74)

Если энергия налетающих нейтронов меньше 10 кэв , то длина волны велика по сравнению с размерами ядра( >> R), l_max = 0 , S_l = S₀ = π ².

Полагая коэффициент прилипания пропорциональным p(W), а также нейтронной ширине уровня, получаем ξ₀ ~ p(W) Г_n . Учет спинов, сталкивающегося нейтрона s, ядра мишени I и составного ядра J, приводит к появлению дополнительного множителя порядка единицы

(1.75)

в сечениях реакций, и, следовательно,

. (1.76)

Подставляя (1.73-1.76) в (1.71)и (1.72) окончательно получаем формулы Брейта-Вигнера для сечения радиационного захвата нейтрона

, (1.77)

и для сечения неупругого резонансного рассеяния нейтрона

(1.78)

Здесь g -спиновой множитель,T- кинетическая энергия нейтрона, T₀ - энергия нейтрона при которой наступает резонанс , т.е. кинетическая энергия нейтрона, соответствующая энергии W₀ изолированного уровня составного ядра О^*.

В формулах (1.77,1.78) первый сомножитель - спиновой, второй сомножитель - геометрическое сечение, третий сомножитель - резонансный.

Формула (1.78)справедлива также для сечения резонансного упругого рассеяния нейтронов σ(n,n) на ядре. Для медленных нейтронов процесс радиационного захвата нейтрона преобладает над упругим резонансным рассеянием .

Следствие1. Из формулы (1.77) следует, что вдали от резонанса T<<T₀ сечение радиационного захвата растет с уменьшением скорости нейтрона («закон 1/v»)

σ(n,γ)~1/v. (1.79)

Действительно, пусть T<<T₀, g~1, тогда T-T₀<<1, ~1/(mv)² , Г=Г_n+Г_γ ≈ Г_γ , Г_n~ 1/ ~v и

σ(n,γ) ~ ~ .

Следствие 2. Без учета спинового множителя, при Т=Т₀ и Г ≈ Г_γ, максимальное сечение

σ₀(n,γ)= σ (Т₀)= . (1.80)

подставляя его в (1.77) получаем

. (1.81)

Е эв

Рис.1.13. Сечение поглощения для плутония-239 в зависимости от энергии нейтрона Е эв

В интервале низких энергий (10^-2 – 10^-1 эв) сечение пропорционально скорости («закон 1/v» ). В двойном логарифмическом масштабе сечение поглощения в линейно меняется с изменением энергии нейтронов.

При значении 3 эв появляется первый сильный резонанс и последовательность меньших по величине резонансных пиков соответствующих дискретным уровням составного ядра.