Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть событие может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий (гипотез) , ,…, , образующих полную группу, т. е.

Вероятность события находится по формуле полной вероятности:

(3.16)

Если событие уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса:

(3.17)

Пример 3.33. Имеются две одинаковых урны с шарами. В первой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй − 3 белых и 7 черных шаров. Выбирают наугад одну урну и вытаскивают из нее один шар.

1. Найти вероятность того, что этот шар белый.

2. Из наугад выбранной урны вытащили белый шар. Найти вероятность того, что шар вытащили из первой урны.

Событие − вытащить наугад белый шар из выбранной наугад урны. Рассмотрим две гипотезы: − выбрать наугад первую урну, − вторую, причем Вероятность вытащить белый шар из первой урны (условная вероятность) , а вероятность события при условии, что событие произошло Используя формулу полной вероятности (3.16), получим:

Известно, что из выбранной наугад урны вытащили белый шар, т. е. событие произошло. Необходимо найти вероятность гипотезы (была выбрана наугад первая урна) при условии, что событие произошло, т. е. Используя формулу Байеса (3.17), получим: