Наступлений события. Схема Бернулли. Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из них может наступить некоторое событие с одной и той же
Схема Бернулли. Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из них может наступить некоторое событие с одной и той же вероятностью или не наступить с вероятность
Вероятность того, что событие произойдет m раз в n испытаниях, выражается формулой Бернулли:
(3.18)
где − число сочетаний из n элементов по m.
Пример 3.34. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что 5 выстрелов дадут 2 попадания?
Используя формулу Бернулли (3.18) и учитывая, что и получим:
Определение. Число называется наивероятнейшим числом наступлений события A в испытаниях, если не меньше остальных значений т. е. при
Если и , то значение можно определить из двойного неравенства:
(3.19)
Разность граничных значений в неравенстве (3.19) равна единице. Если не является целым числом, то неравенство определяет лишь одно значение . Если же является целым числом, то неравенство определяет два наивероятнейших значения: и
Пример 3.35.В урне10 белых и 40 красных шаров. Вынимают наугад по одному 14 шаров, каждый раз возвращая вынутый шар в урну и тщательно перемешивая шары. Определить наивероятнейшее число появлений белого шара.
Из условия задачи следует, что а Используя неравенство (3.19), получим:
т. е.
Таким образом, задача имеет два решения: и
Пример 3.36. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.
Из условия задачи следует, что а Используя неравенство (3.19), получим:
т. е.
Задача имеет одно решение:
3.2.13. Локальная формула Муавра−Лапласа
В рамках схемы Бернулли при большом числе n независимых испытаний использовать формулу Бернулли нецелесообразно. В этих ситуациях используют локальную формулу Муавра−Лапласа.
Локальная теорема Муавра−Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях (чем больше n, тем точнее), в каждом из которых может наступить некоторое событие с одной и той же вероятностью или не наступить с вероятностью событие наступит m, приближенно равна:
(3.20)
где
Функция является четной, следовательно, Таблица значений функции для положительных значений аргумента приведена в приложении 1.
Формулу (3.20) называют локальной формулой Муавра−Лапласа или локальной формулой Лапласа.
Пример 3.37. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.
По условию задачи и Так как значение велико, воспользуемся (3.20) локальной формулой Муавра−Лапласа:
В таблице значений функции (приложение 1) найдем и подставим в (3.20). Искомая вероятность
Пример 3.38. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.
По условию задачи и Так как значение велико, воспользуемся (3.20) локальной формулой Муавра−Лапласа:
Так как функция является четной, следовательно, В таблице значений функции (приложение 1) найдем и подставим в (3.20). Искомая вероятность
3.2.14. Интегральная формула Муавра−Лапласа
Интегральная теорема Муавра−Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях (чем больше n, тем точнее), в каждом из которых может наступить некоторое событие с одной и той же вероятностью или не наступить с вероятность событие наступит не менее и не более раз, приближенно равна:
(3.21)
где − функция Лапласа.
Функция является нечетной, следовательно, Таблица значений функции для положительных значений аргумента приведена в приложении 2.
Формулу (3.21) называют интегральной формулой Муавра−Лапласа или интегральной формулой Лапласа.
Пример 3.39. Найти вероятность того, что событие наступит не менее 75 и не более 90 раз в 100 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,8.
По условию задачи и Так как значение велико, воспользуемся (3.21) интегральной формулой Муавра−Лапласа:
Учитывая нечетность функции т. е. найдем в таблице значений (приложение 2) и подставим в (3.21). В результате получим:
Дата добавления: 2014-12-14; просмотров: 690;