Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов. Определение.Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла:
Определение.Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла:
Вычисляется как сумма произведений соответствующих координат этих векторов (a,b) = x1x2 + y1y2 + z1z2.
Определение.Векторное произведение двух векторов – это вектор,перпендикулярный векторам aи b,образующий с ними правую тройку и имеющий длину
Вычисляется как определитель .
Геометрически длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Определение.Смешанное произведение трех векторов это число,равное скалярному произведению третьего вектора на векторное произведение первых двух (a, b, c) = (a×b, c).
Вычисляется как определитель
Геометрически модуль смешанного произведения векторов равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Если смешанное произведение равно нулю, то вектора лежат в одной плоскости, т. е. компланарны.
1.25. В таблице 1.14 заданы векторы , Вычислить:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) угол между векторами и .
Таблица 1.14
№ | ||||
(4, –2, –4) | (1, 4, –2) | (1, 1, 1) | (0, 1, 1) | |
(5, –1, 3) | (3, 1, 1) | (1, –1, 0, ) | ( –1, 1, 0) |
1.26. Найти и построить вектор = , если:
1) = 2 , = 3 ; 2) = , = ;
3) = = .
Определить в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
1.27. Найти × , синус угла между векторами и , если:
1) = (1, –5, – 3), = (–2, 4, 3);
2) = (3, –2, 6), = (6, 3, –2);
3) = (3, 0, –4), = (1, –2, 2).
1.28. Найти площадь треугольника с вершинами:
1) А (2; 2; 2), В (1; 3; 3), С (3; 4; 2);
2) А (–3; –2; –4), В (–1; –4; –7), С (1; –2; 2).
1.29. Найти смешанное произведение , и , если:
1) = (1, 1, 2), = (1, –2, 3), = (2, 1, 1);
2) = (5, –2, –1), = (1, –2, 1), = (1, 2, –2).
1.30. Установить, компланарны ли векторы:
1) = (1, 1, 3), = (0, 2, –1), = (1, –1, 4);
2) = (1, 2, 2), = (2, 5, 7), = (1, 1, –1).
1.31. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах
= (3, 2, 1), = (1, 0,–1), = (1, –2, 1).
1.32. Треугольная пирамида задана координатами своих вершин
1) А (–1; 1; 0), В (2;–2; 1), С (3; 1; –1), Д (1; 0; –2).
2) А (–4; –4; –3), В (–2;–1; 1), С (2; –2; –1), D (1; 3; –2).
Найти: угол <ДАВ; S – площадь грани АВС, V – объём пирамиды, высоту пирамиды.
Решение.
1) Найдём векторы и :
= (1 + 1; 0 – 1; – 2– 0) = (2; –1; –2), = (2 + 1; –2–1; 1 –0) = (3; –3; 1),
,
.
2) Найдем вектор = (4; 0; –1), тогда векторное произведение
Его длина равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Вычислим: .
Тогда площадь ∆АВС равна половине площади параллелограмма:
3) Найдём смешанное произведение:
= 0 + 4+ 6 – (0+24+3)= –17.
, ,
Значит,
4) Т.к. , то можно найти высоту пирамиды
1.2.3. Линейные операторы.
Собственные векторы и собственные значения
Любую квадратную матрицу можно рассматривать как линейный оператор, действующий на векторах. Матрица линейного оператора строится следующим образом: фиксируем базис линейного пространства (е1, е2) и действуем на базисные вектора данным преобразованием φ. Например, рассмотрим поворот на 60 (рис. 1.2); при этом базисные вектора переходят в вектора е1', e2'. Раскладываем эти образы по прежнему базису, коэффициенты разложения образуют столбцы матрицы линейного оператора преобразования.
e1= i =
e2 = j =
A = .
Рис. 1.2. Линейное преобразование поворота на 60˚
Определение. Вектор х называется собственным для матрицы А, если Ах = λх или (А – λЕ) х =0. Собственные числа λ являются корнями характеристического уравнения det (A – λE) = 0.
1.33. Линейный оператор в базисе задан матрицей А. Найти образ где:
1) = 4 –3 , А = ; 2) = 2 + 4 – ,
А =
1.34. Проверить непосредственным вычислением, какие из данных ниже векторов являются собственными векторами матрицы А, и указать соответствующие собственные значения:
,
1.35. Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных матрицами:
1) А = 2) А =
3) А = 4) А =
Задача о нахождении соотношения сбалансированности торговли
Постановка задачи. Пусть имеется несколько стран с известными национальными доходами Х = (х1, х2, …, хn). Структурная матрица торговли А показывает долю национального дохода, которую страна тратит на покупку товаров других стран и внутри своей страны. Требуется найти соотношение национальных доходов для сбалансированности торговли.
Математически эта задача сводится к отысканию собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению 1.
Пример 1.10. Задана структурная матрица торговли . Найти соотношение национальных доходов стран для сбалансированной торговли.
Решение:
= .
= = (0,5 –)٠(0,6 –) –2 = 0,3 – 0,5– 0,6 + 2 – 0,2 = 2 – 1,1 +0,1 = 0.
Находим корни уравнения – собственные значения матрицы. Действительно, = 1, = 0,1. Тогда, собственный вектор для= 1:
(А – 1Е)٠Х= • = .
Имеем систему . Собственный вектор Х = (0,8; 1).
Соотношение доходов получается 0,8 : 1 или 4 : 5.
1.36. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид:
А = .
Найти бюджет первой и второй стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что бюджет третьей страны равен 1100 усл. ед.
1.37. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид:
A= .
Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле, если сумма бюджетов = 6270 усл. ед.
Дата добавления: 2014-12-14; просмотров: 803;