Конспект лекций по дисциплине

Теорема.Необходимым и достаточным условием совместности системы m линейных уравнений с n неизвестными

(1)

является равенство между собой рангов коэффициентной A и расширенной матриц.

В русско-язычной литературе на эту теорему ссылаются как на теорему Кронекера-Капелли.

Следствия.

1. Если rankÃ=rankA и совпадает с числом n неизвестных, то система (1) имеет единственное решение.

Это утверждение по сути представляет собой просто другую формулировку правила Крамера

1. Если rankÃ=rankA>n, то система (1) имеет бесконечное множество решений.

Схема:

Равенство рангов коэффициентной и расширенной матриц означает совместность системы уравнений (1). При этом число r=rankÃ=rankA устанавливает количество базисных переменных, тогда как остальные (n - r) переменные играют роль свободных параметров и могут принимать любые значения. Каждому набору параметров, число которых бесконечно велико, соответствует свое решение.

Примеры:

1. Докажем необходимость условия, сформулированного в теореме, т.е. покажем, что предположение о совместности системы уравнений влечет за собой равенство рангов, .

Рассмотрим расширенную матрицу

и преобразуем ее, выполнив элементарные операции над столбцами.

Вычтем из последнего столбца первый столбец, умноженный на , второй столбец умноженный на , и т.д. При этом ранг матрицы не меняется:

С учетом уравнений (1), последний столбец является нулевым и поэтому его можно опустить. Тогда

2. Перейдем к доказательству достаточности условия.
Покажем, что равенство рангов r=rankÃ=rankA влечет за собой совместность системы (1).

Если r= rankA , то существует несингулярная подматрица Ã r-го порядка. Ее матричные элементы (коэффициенты при неизвестных) указывают – какие именно r уравнений "образуют базис" данной системы уравнений - в том смысле, что каждое из оставшихся уравнений является следствием "базисных" уравнений (их линейной комбинацией).
Поэтому можно перейти к укороченной системе r уравнений и выбрать r неизвестных в качестве базисных переменных. Остальные (n - r) переменные будут при этом выступать в качестве свободных параметров, которым можно придавать произвольные числовые значения.
Укороченная система r линейных уравнений полностью эквивалентна исходной системе и имеет (согласно теореме Крамера) единственное решение для любого набора значений свободных параметров.

Примеры:

1. Дана система линейных уравнений, Установить соотношения между параметрами a, b и c, при которых система является несовместной. Решение. Составим расширенную матрицу и преобразуем ее к ступенчатой форме: Если , то система является несовместной. В противном случае одна из неизвестных является свободной переменной и, следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

***

2. Система линейных уравнений задана расширенной матрицей, представленной в приведенно-ступенчатой форме: Выяснить сколько решений имеет эта система. Решение. Очевидно, что ранг матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, равен рангу расширенной матрицы и совпадает с числом неизвестных. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение – согласно следствию из обобщенного правила Крамера.

***

3. Выяснить сколько решений имеет система линейных уравнений, заданная расширенной матрицей при различных значениях параметра a. Решение. Если , то , тогда как . В этом случае система является несовместной и не имеет решений. Если a = 0, то , что меньше числа неизвестных, количество которых равно 4. Тогда одна из неизвестных должна рассматриваться как свободный параметр, и при этом система имеет решение при любых значениях этого параметра. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Конспект лекций по дисциплине

«ОПЕРАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ»

Литература

1. Таненбаум Э., Вудхал А. Операционные системы. Разработка и реализация. 3-е изд. – СПб.: Питер, 2007. – 704 с.

2. Гордеев А.В. Операционные системы. – СПб.: Питер, 2007. – 416 с.

3. Гордеев А.В., Молчанов А.Ю. Системное программное обеспечение. – СПб.: Питер, 2002. – 736 с.

4. Харт Д.М. Системное программирование в среде Windows.: пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. – 529 с.

5. Гагарина Л.Г., Кокорева Е.В., Виснадул Б.Д. Технология разработки программного обеспечения. – М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2008. – 400 с.

6. Иртегов Д.В. Введение в операционные системы. – СПб.: БХВ-Петербург, 2002. – 624 с.

7. Олифер В.Г., Олифер Н.А. Сетевые операционные системы. – СПб.: Питер, 2001. – 544 с.

8. Партыка Т.Л., Попов И.И. Операционные системы, среды и оболочки. М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007. – 528 с.

9. Реймонд С. Искусство программирования для UNIX. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. – 544 с.