Рассмотрим дифференцирование функции, заданной параметрически.
Пусть функция задана параметрически: где – вспомогательная переменная, называемая параметром.
Нужно найти . Предположим, что имеет однозначную обратную функцию . Продифференцируем уравнение по , как сложную функцию, считая промежуточным аргументом, зависящим от : ; . Так как , то получим:
. (4)
ПримерПусть Найти .
Решение. По формуле (4), получаем
Производную функции одной переменной в некоторых случаях можно найти значительно проще, если функцию предварительно прологарифмировать, такой метод называется логарифмическое дифференцирование.
Логарифмическое дифференцирование обычно применяется при отыскании производной от степенно-показательной функции и от произведения функций, т.е. в тех случаях, когда обычными методами производную нельзя найти, либо вычисление производной очень громоздко. Конечно, эта операция может применяться и в других случаях.
Определение.Функция , у которых основание и показатель степени есть функции независимых переменных, называются степенно-показательными.
Производные таких функций вычисляются только с помощью логарифмического дифференцирования.
ПримерДана функция . Найти .
Решение. Прологарифмировав функцию , получим
.
Дифференцируем полученное уравнение по : . Из последнего равенства найдем :
.
Дата добавления: 2014-12-08; просмотров: 554;