Логика в средние века

Средневековая логика (VI—XV вв.) изучена еще недостаточ­но. В средние века теоретический поиск в логике развернулся главным образом по проблеме истолкования природы общих понятий. Так называемые реалисты, продолжая идеалистическую линию Платона, считали, что общие понятия существуют реаль­но, вне и независимо от единичных вещей. Номиналисты же, напротив, считали, что реально существуют только единичные предметы, а общие понятия — лишь имена, названия для них. Оба взгляда были неправильными, однако номинализм был бли­же к материализму.

Сформулируем основные проблемы, которые разрабатыва­лись в средневековой логике: проблемы модальной логики, ана­лиз выделяющих и исключающих суждений, теория логического следования, теория семантических парадоксов (логики в средние века усиленно занимались их анализом, например парадокса «Лжец» и др., и предлагали разнообразные решения).

Теоретические источники средневековой арабоязычной логики следует искать в логике Аристотеля. Основателем арабоязычной логики считается сирийский математик аль-Фараби (870—950), который прокомментировал весь аристотелевский «Органон». Логика аль-Фараби направлена на анализ научного мышления. Им исследуются и вопросы теории познания, и грамматики. У него, как и у Аристотеля, метод мышления соотносится с ре­альными отношениями и связями бытия. Аристотель был «духо­вным наставником» аль-Фараби в области логики.

Аль-Фараби выделяет в логике две ступени: первая охватыва­ет представления и понятия, вторая — теорию суждений, выво­дов и доказательств.

Сирийская логика послужила посредником между античной и арабоязычной наукой. Историки логики признают влияние логики арабов на развитие европейской логики в средние века.

Таджик Ибн Сина (Авиценна; 980—1037) комментирует Ари­стотеля и сам пытается развить логику. Авиценне известна зави­симость между категорическими и условными суждениями, выра­жение импликации через дизъюнкцию и отрицание, т. е. формула В учебнике «Логика» Ибн Сина стремился обо­бщить аристотелевскую силлогистику. Вначале Ибн Сина, П. С. Порецкий, Е. Л. Буницкий и др., внесли существенный вклад в развитие логики на уровне мировых логических концеп­ций.

Трактат по логике впервые появился в России в X в. Это был перевод философской главы из «Диалектики» византийского пи­сателя VII в. Иоанна Дамаскина, представлявшей собой изложе­ние работ Аристотеля и его комментаторов. Первое системати­ческое учебное пособие по логике, включавшее аристотелевскую логику и отдельные идеи Гоббса, было подготовлено во второй половине XVII в. Тогда же в России начали распространяться отдельные идеи математической логики.

В XVIII в. в России появляются оригинальные логические работы. Первых результатов добивается русский ученый-естест­воиспытатель мирового значения Михаил Васильевич Ломоно­сов (1711—1765). Он вносит существенные изменения в традици­онную силлогистику, предлагая свою классификацию умозаклю­чений, отграничивает суждение от грамматического предложения и др. Дмитрий Сергеевич Аничков (1733—1788) в трактате «За­метки по логике» (Annotationes in logicam, metaphysicam et cosmologiam) исследовал модальные суждения, подразделяя их на четыре вида: необходимые, невозможные, возможные и не невоз­можные, сформулировал систему правил для ведения диспутов.

Философ-материалист Александр Николаевич Радищев (1749—1802) одним из первых в мировой литературе поставил проблему необходимости логического анализа отношений, кото­рого нет ни в логике Аристотеля, ни в логике средневековых схоластов. Он считал, что суждения представляют сравнение двух понятий или в суждениях выражено познание отношений, сущест­вующих между вещами. А. Н. Радищев дает следующую клас­сификацию умозаключений¹¹: 1) «рассуждение» (т. е. силло­гизм); 2) «уравнение», т. е. умозаключения равенства, основан­ные на следующей аксиоме: равные и одинаковые вещи состоят в равном либо одинаковом союзе или отношении; 3) «умозак­лючения по сходству».

Крупнейшими русскими логиками XIX в. в России были Ми­хаил Иванович Каринский (1840—1917) и его ученик Леонид Васильевич Рутковский (1859—1920), основные логические рабо­ты которых посвящены классификации умозаключений.

Основной замысел логической теории Каринского можно ха­рактеризовать как стремление построить аксиоматике -дедуктив­ную систему логики, исходя из основного отношения равенства (т. е. «тождества»), и в ней описать дедуктивные и индуктивные умозаключения, не используя элементов строгой формализации. Каринский в этой концепции примыкает к идеям Джевонса, что отметили уже его современники.

Структура умозаключения, по Каринскому, такая. Из двух посылок, имеющих структуру (1) и (2), делается заключение (3).

А находится в отношении R к В: (1)

В тождествен с С. (2)

__________________________________

А находится в отношении R к С. (3)

Приведем примеры.

Москва находится восточнее Парижа.

Париж — столица Франции.

_____________________________________

Москва находится восточнее столицы Франции.

Самара находится западнее озера Байкал.

Озеро Байкал — самое глубокое озеро мира.

_________________________________________

Самара находится западнее самого глубокого озера мира.

Все выводы М. И. Каринский делит на две большие группы: 1) выводы, основанные на «сличении субъектов» и 2) выводы, основанные на «сличении предикатов» (при этом смысл терминов «субъект» и «предикат» не совпадает с соответствующим им традиционным пониманием). Основанием выводов является тож­дество (или соответственно различие) «субъектов» или «пре­дикатов». В эти две большие группы, по мнению Карийского, можно отнести все виды умозаключений и, кроме них, еще и ги­потезу.

Исследуя работы по логике М. И. Каринского, историк логи­ки Н. И. Стяжкин отмечал, что Каринский стремился охватить в своей классификации все виды умозаключений, встречающиеся в практике научного и общечеловеческого мышления. Но постав­ленная задача оказалась шире, чем принятые Каринским и поло­женные в основу его теории предпосылки. Она осталась невыпол­ненной.

Л. В. Рутковский — автор работы «Основные типы умозак­лючений» (1888). Если Каринский строил теорию выводов, ис­пользуя лишь отношение тождества, и пытался свести к нему все другие отношения, то Рутковский считает возможным признать равноправными с отношением тождества и другие отношения, например отношения сходства, сосуществования и др. Так как существует многообразие отношений, имеется и многообразие видов логических выводов (т. е. видов умозаключений). Умозак­лючения делятся им на интенсивные (т. е. рассматриваемые в ло­гике содержания) и экстенсивные (рассматриваемые в логике объема).

Рутковский делит все выводы на две основные группы. Первая группа — выводы подлежащих (т. е. выводы по объему) — рас­падается на три вида: а) традукцию (выводы сходства, тождест-ва, условной зависимости); б) индукцию (полную и неполную); в) дедукцию (гипотетическую и негипотетическую).

Вторая группа выводов — выводы сказуемых (по содержа­нию) — распадается на выводы «продукции» (разделительный силлогизм, выводы о совместности, современности предметов и др.), «субдукции» (выводы при классификациях и упорядочении предметов и др.), «эдукции» (отнесение предмета к виду его класса, заключения математической вероятности и др.).

Аксиома «продукции» такова: «Из того, что предмет имеет признак В, следует, что этот же предмет имеет и признак С, так как признак В неизменно сосуществует с признаком С»¹².

Краткий анализ работ М. И. Каринского и Л. В. Рутковс-кого показывает, что их оригинальные работы по классификации видов умозаключений способствовали прогрессивному развитию традиционной логики в XIX в.

Оригинальными были идеи казанского логика Николая Алек­сандровича Васильева (1880—1940). Они возникли в результате изучения проблем традиционной логики, но их значение было столь большим, что оказало влияние на развитие математичес­кой логики. Он вслед за другим русским логиком С. О. Шатуновским высказал идею о неуниверсальности закона исключен­ного третьего. Если Шатуновский пришел к этой идее в резуль­тате тщательного изучения особенностей математического до­казательства применительно к бесконечным множествам, то Н. А. Васильев пришел к этому выводу в результате изучения частных суждений, рассматриваемых в традиционной логике. Основными работами Н. А. Васильева являются следующие: «О частных суждениях, о треугольнике противоположностей и о за­коне исключенного четвертого» (1910), «Воображаемая (неари­стотелева) логика» (1912) и «Логика и металoгика». Н. А. Васи­льев подкреплял свои концепции формальной аналогией с неевк­лидовой геометрией Н. И. Лобачевского. Не все современники Васильева оценили его идеи, хотя некоторые из них считали, что он написал «остроумнейшую работу». Логические идеи Василье­ва можно рассматривать как некоторые предшествующие мысли, развитые далее в конструктивной и интуиционистской логиках, о неприменимости принципа исключенного третьего для беско­нечных множеств. Васильев, кроме того, рассматривает условия, при которых представляется возможным оперировать с проти­воречивыми высказываниями внутри непротиворечивой логичес­кой системы.

В XIX в. появляется математическая логика. Немецкий фило­соф Г.В.Лейбниц (1646—1716) — величайший математик и крупный философ XVII в. — по праву считается ее основопо­ложником. Лейбниц пытался создать универсальный язык, с по­мощью которого споры между людьми можно было бы раз­решать посредством вычисления. При построении такого исчисления Лейбниц исходил из «основного принципа разума», кото­рый гласил, что во всех истинных предложениях, общих или частных, с необходимостью или случайно предикат содержится в субъекте. Он хотел всякому понятию дать числовую харак­теристику и установить такие правила оперирования с этими числами, которые позволили бы не только доказывать вообще все истины, доступные логическому доказательству, но и откры­вать новые. В надежде, что так люди смогут открывать новые истины, он видел особую заслугу своей всеобщей характеристики. Лейбниц говорил о ней как о чудесном общем языке, имеющем свой словарь (т. е. характеристические числа, отнесенные к поня­тиям) и свою грамматику (правила оперирования с этими чис­лами). Лейбниц хотел построить арифметизированное логичес­кое исчисление в виде некоторой вычисляющей машины (ал­горитма). Однако этого ему сделать не удалось.

В этой концепции Лейбница неприемлемо прежде всего то, что все содержание наших понятий якобы может быть выражено их характеристическими числами. Несостоятельным было пред­ставление Лейбница и о том, что человеческое мышление может быть полностью заменено вычисляющей машиной.

Лейбниц полагал, что математику можно свести к логике, а логику считал априорной наукой. Сторонников такого обосно­вания математики называют логицистами — представителями субъективного идеалистического направления.

Лейбниц является предшественником логицизма в том смыс­ле, что он предложил сведение математики к логике и математи­зацию логики: построение самой логики как некоторой ариф­метики или буквенной алгебры. Но Лейбниц был предшественни­ком логицизма и в том, что пытался создать арифметизирован­ное логическое исчисление, о котором мы говорили.

Покажем, как это делал Лейбниц. Возьмем такой категоричес­кий силлогизм:

+ 70, -33 +10, -3

Всякий мудрый есть благочестивый.

+ 70, -33 +8, -11

Некоторые мудрые есть богаты.

_____________________________________

+ 8, -11 +10, -3

Некоторые богатые есть благочестивы.

Сверху над понятиями написан выбранный наудачу правиль­ный набор характеристических чисел для терминов посылок (му­дрый, благочестивый, богатый). Истинность общеутвердитель­ного суждения «Все S есть Р» (первая посылка) выражается тем, что обе характеристики субъекта делятся на соответствующие характеристики предиката, т. е. 70 (точно, без остатка) делится на 10, а —33 делится на —3, и числа, стоящие на диагоналях, взаимно простые, т. е. + 70 и — 3, так же как — 33 и +10, взаимно простые числа. Истинность частноутвердительного суждения, по Лейбницу, должна выражаться таким правилом: числа, стоящие на диагоналях, должны быть взаимно простыми, т. е. не иметь общих делителей, кроме единицы.

Посылка «Некоторые мудрые — богаты» имеет такие числа:

т. е. на обеих диагоналях стоят взаимно простые числа.

И заключение этому правилу также удовлетворяет, ибо на диагоналях стоят взаимно простые числа:

Истинность общеотрицательного суждения «Ни одно S не есть Р»у Лейбница выражалась тем, что по крайней мере на одной диагонали стоят не взаимно простые числа. Истинность частноотрицательного суждения выражалась тем, что по крайней мере одна из характеристик субъекта не делится на соответст­вующую характеристику предиката.

Чтобы воспользоваться исчислением Лейбница, люди долж­ны были свое рассуждение облечь в форму силлогизма и посмот­реть, правильный он или неправильный. Однако построенная Лейбницем система удовлетворяла этому требованию только в применении к правильным, по Аристотелю, построенным сил­логизмам. Автором настоящего пособия доказано, что все 19 правильных, по Аристотелю, модусов силлогизма окажутся пра­вильными и по критерию Лейбница. Но в отношении неправиль­ных модусов категорического силлогизма Аристотеля дело об­стоит по-иному. Всегда можно построить такой пример, когда при разных правильных наборах числовых характеристик для посыпок получаются разные оценки заключения: в одних случаях оно оказывается истинным, в других — ложным.

Исчисление Лейбница, таким образом, не выдержало провер­ки, что, конечно, заметил и сам Лейбниц, перешедший в даль­нейшем к построению буквенного исчисления по образцу алгеб­ры. Но тоже неудачно.

Однако в этих замыслах Лейбница не все было порочным. Сам по себе метод арифметизации в математической логике играет весьма существенную роль как вспомогательный прием. В нем состоит, например, сущность метода, с помощью которого известный австрийский математик и логик К. Гёдель доказал неосуществимость Лейбницевой мечты о создании такой всеобщей характеристики, которая позволит заменить все человеческое мышление вычислениями.

Ложной была именно метафизическая идея Лейбница о сведе­нии всего человеческого мышления к некоторому математичес­кому исчислению. Поэтому были ложны и вытекающие из нее следствия.

Интенсивное развитие математическая логика получила также в работах Д. Буля, Э. Шредера, С. Джевонса, П. С. Порецкого и других логиков.

Английский логик Джордж Буль (1815—1864) разрабатывал алгебру логики — один из разделов математической логики. Предметом его изучения были классы (как объемы понятий), соотношения между ними и связанные с этим операции. Буль переносит на логику законы и правила алгебраических действий.

В работе «Исследование законов мысли»¹³, которая оказала большое влияние на развитие логики, Буль ввел в логику классов в качестве основных операций сложение («+»), умножение («х» или возможен пропуск знака) и вычитание («—»). В исчислении классов сложение соответствует объединению классов, исключая их общую часть, а умножение — пересечению. Вычитание Буль рассматривал как действие, противоположное (opposite) сложе­нию, — отделение части от целого, то, что в естественном языке выражается словом «кроме» (except).

Буль ввел в свою систему логические равенства, которые он записывал посредством знака «=», соответствующего связке «есть». Суждение «Светила есть солнца и планеты» в виде равен­ства им записывается так: x = y + z, откуда следует, что x—z = y. Согласно Булю, в логике, как и в алгебре, можно переносить члены из одной части равенства в другую с обратным знаком. Буль открыл закон коммутативности для вычитания (х-у = -у+х)и закон дистрибутивности умножения относите­льно вычитания (z (χ—y) = zx—zy). Он сформулировал общее правило для вычитания: «Если от равных вычесть равные, то остатки будут равными. Из этого следует, что мы можем склады­вать или вычитать равенства и употреблять правило транспози­ции точно так же, как в общей алгебре»¹⁴.

Предметом исследования ученого были также высказывания (в традиционной логике их называют суждениями). В исчислении высказываний, по Булю, сложение («+») соответствует строгой дизъюнкции, а умножение (« х » или пропуск знака) — конъюнк­ции.

Чтобы высказывание записать в символической форме, Буль составляет логическое равенство. Если какой-либо из терминов высказывания не распределен, он вводит термин V для обозначе­ния класса, неопределенного в некотором отношении. Для того чтобы выразить частноотрицательное суждение, например «Не­которые люди не являются благоразумными», Буль сначала представляет его в форме «Некоторые люди являются неблагора­зумными)), а затем выражает в символах обычным способом.

По Булю, существует три типа символического выражения суждений: X=VY (только предикат не распределен): Χ=V (оба термина — субъект и предикат — распределены); VX=VY (оба термина не распределены).

Диалектика соотношения утверждения и отрицания в поняти­ях и суждениях у Буля такова: без отрицания не существует утверждения, и, наоборот, во всяком утверждении содержится отрицание. Утверждения и отрицания связаны с универсальным классом: «Сознание допускает существование универсума не ап­риори, как факт, не зависящий от опыта, но либо апостериори, как дедукцию из опыта, либо гипотетически, как основание воз­можности утвердительного рассуждения»¹⁵.

Различая живой разговорный язык и «язык» символический, Буль подчеркивал, что язык символов лишь вспомогатель­ное средство для изучения человеческого мышления и его законов.

Немецкий математик Эрнст Шрёдер (1841—1902) собрал и обобщил результаты Буля и его ближайших последователей. Он ввел в употребление термин «Logikkalkul» (логическое исчис­ление), новые по сравнению с Булем символы. В основу исчисле­ния классов он положил не отношение равенства, как это было у Буля, а отношение включения класса в класс, которое обозна­чал как Знак «+» Буль использовал для обозначения объеди­нения классов, исключая их общую часть, т. е. симметрическую разность (см. рис. 8), а у Шрёдера знак «+» обозначает объедине­ние классов без исключения их общей части (см. рис. 11).

Пропуском знака Шрёдер обозначает операцию пересечения классов, например ab. Применительно к высказываниям формой α+b он обозначает нестрогую дизъюнкцию.

Во взглядах Э. Шредера на отрицание можно отметить много интересного и нового по сравнению со взглядами Буля. Под отрицанием класса а Шрёдер понимает его дополнение до еди­ницы¹⁶.

Если классов больше двух, то Шредер оперировал с ними по сформулированным им правилам. Правило 1: если среди со­множителей некоторого произведения находятся такие, из кото­рых один является отрицанием другого, то произведение «исчеза­ет», т. е. равно 0. Например, abc х ab, cd,=0, так как имеется b и b₁.

Правило 2: если среди членов некоторой суммы находится хотя бы один, который оказывается отрицанием другого, то вся сумма равна 1:

a+b+c,+a+c+d,= l.

Значительное внимание Шрёдер уделил анализу структуры отрицательных суждений. Он отрицательную частичку прилагает к предикату, т. е. вместо «А не есть В» он берет «А есть не-В». Так, суждение «Ни один лев не является травоядным», если следовать идеям Шредера, надо заменить на суждение «Все львы являются нетравоядными».

Шрёдер класс а, как отрицание класса а считает очень неоп­ределенным. И в доказательство этой мысли приводит такой пример. Понятие «несражающийся» (в армии) охватывает: сапе­ров, полковых ремесленников, служащих лазарета, врачей, кото­рые относятся к армии, но не сражаются.

Опираясь на законы де Моргана, Шредер проводит анализ языка разговорной речи. Выражение в речи означает, что «каждое с есть не-а и (одновременно) не-b ».Для него можно выбрать другое выражение: «Каждое с не есть ни а, ни b». Это конъюнктивное суждение, примером которого может быть: «Ка­ждая рыба — не птица и не млекопитающее». Другое суждение «Никакая рыба не есть птица и млекопитающее» означает в сим­волическом виде , что эквивалентно, на основании правила де Моргана, Так называемое отрицательное по связке суждение «ни а, ни b не есть с» представляется в виде

Шредер формулирует правила, или требования, научной ква­лификации: 1) между родом и суммой его видов должно быть тождество; 2) все виды должны быть дизъюнктивными, т. е. должны исключать друг друга, и попарно в произведении давать 0; 3) для расчленения рода на виды должно быть одно основание. Используя отрицание, Шрёдер показал, как классифицируемый род делится на виды и подвиды.

В логическом исчислении, доведенном до наибольшей просто­ты, Шрёдер признает три основных действия: сложение (трактуя его как нестрогую дизъюнкцию), умножение и отрицание. Однако вычитание он считает не безусловно выполнимой операцией.

По нашему мнению, в логике классов вполне приемлема операция вычитания классов, но мы понимаем ее принципиально иначе, чем Буль и Шрёдер. Буль и Шрёдер считали, что в раз­ности (а—b) b должно полностью входить в а, если же b>а или а и b несовместимы, то операция вычитания невыполнима. В от­личие от Буля и Шрёдера мы допускаем возможной (т. е. выпол­нимой) разность всяких двух классов а и b, из которых b может и не быть частью а; в качестве следствий мы учитываем случаи вычитания, когда классы а и b являются пустыми или универсаль­ными. Данный подход рассмотрен выше на с. 57—59.

Наиболее известны работы английского логика Стенли Джевонса (1835—1882) «Principles of Science, a Treatise on Logic and Scientific Method» (London, 1874) и «Elementary Lessons in Logic, Deductive and Inductive» (London, 1870).

В качестве логических операций он признавал конъюнкцию, нестрогую дизъюнкцию и отрицание и не признавал обратных логических операций — вычитания и деления. Джевонс обознача­ет классы буквами А, В, С... а их дополнение до универсального класса, обозначаемого 1, или их отрицания — соответственно курсивными буквами а, b, с... Нулевой (пустой) класс он обозна­чает 0, а связку в суждении заменяет знаком равенства.

Джевонс большое значение придает принципу замещения или подстановки, который им формулируется так: если только суще­ствует одинаковость, тождество или сходство, то все, что верно об одной вещи, будет верно и о другой. Этот принцип замещения играет важную роль в умозаключении. Для обозначения отноше­ния одинаковости или тождества Джевонс употребляет знак «=».

Обозначив положительные и отрицательные термины соот­ветственно через А и а, В и b, Джевонс записывает закон проти­воречия как Аа—0. Критерием ложности заключения, по Джевон-су, является наличие в нем противоречия, т. е. утверждения и отрицания одного и того же положения, что записывается, например, как наличие Аа, Вb, АВСа.

С. Джевонс говорил, что утвердительные суждения можно представлять в отрицательной форме. Но он напрасно столь категорически заявлял, что имеются сильные основания в пользу того, чтобы употреблять все предложения в их утвердительной форме, а различие (т. е. отрицательные суждения) не способно быть основанием умозаключения. С. Джевонс не отрицал, что утверждение и отрицание, сходство и различие, равенство и нера­венство представляют пары одинаково основных отношений, но утверждал, что умозаключение возможно только там, где прямо находится или подразумевается утверждение, сходство или раве­нство, словом, какой-нибудь вид тождества.

Согласно законам диалектики, тождество и различие являют­ся двумя сторонами единого предмета или процесса. Отражение отношений тождества и различия, имеющихся в самих предметах действительного мира, находит свое выражение и в мышлении, в формах умозаключений. Поэтому отбросить различие, выража­ющееся в отрицательных суждениях, и все свести только к тож­деству, выражающемуся в утвердительных суждениях, нельзя, да и нет в этом необходимости. Единство противоположностей — тождества и различия — неразрывно.

Интересны и оригинальны взгляды С. Джевонса на категори­ческий силлогизм с двумя отрицательными посылками. Он утвер­ждает, что его принцип умозаключения ясно отличает случаи, когда оно оказывается правильным или неправильным. Он при­водит пример умозаключения.

Все, что не металлично, не способно к сильному магнитному влиянию.

Уголь не металлнчен.

__________________________________________________

Уголь не способен ж сильному магнитному влиянию.

Здесь из двух отрицательных посылок получается истинное отрицательное заключение. С. Джевонс считает, что там, где возможно подставлять тождественное вместо тождественного, возможен вывод заключения из двух отрицательных посылок.

С. Джевонс внес значительный вклад в алгебру логики, осо­бенно в проблему отрицания классов и отрицательных суждений.

Следующий этап в развитии математической логики связан с именем русского логика, математика и астронома Платона Сергеевича Порецкого (1846—1907). Его работы¹⁷ существенно обобщают и развивают достижения Буля, Джевонса и Шрёдера.

Анализируя понятия, Порецкий различает две формы: форму, обладающую данным признаком, обозначаемую буквами а, b, с..., и форму, им не обладающую, обозначаемую а₁,b₁,с₁и т. д.¹⁸

Формы совместного обладания или необладания несколькими признаками он записывает так: а, а₁ b, b₁(без особого знака между буквами). Современное пересечение классов Порецкий называет операцией реализирования (умножения), обозначая ее «·», а операцию объединения классов — абстрагированием (сло­жением), обозначая ее «?», т. е. знаком вопроса; 0 и 1 обозначают пустой класс и универсальный. Порецкий вводит операцию от­рицания классов (отрицание а обозначается через а₁) — это до­полнение к классу а. Для каждого данного а его отрицание, т. е. а₁может быть различно. Это определяется избранным универ­сальным классом. Так, если за 1, т. е. универсум, принять англи­чан, а за а класс артистов, то а₁— англичане-ые-артисты, но если

1 обозначает класс людей, то а₁— людей-не-артистов и т. д.

Заслуга Порецкого в том, что он рассматривал логические операции не только над отдельными логическими классами, но и над логическими равенствами. Порецкий считает, что если два класса состоят из одних и тех же предметов, т. е. имеют равные объемы и могут отличаться только формой, то они равны между собой. Соединяя равные классы знаком « = », мы получаем логи­ческое равенство. Равенством логических классов русский логик называет полную их тождественность, т. е. одинаковость их логического содержания, считая, что все их различие может состоять только в способе их происхождения. Примером такого равенства является закон де Моргана: (m+ n)₁—m₁n₁.Если клас­сы а и b равны, то и их отрицания, т. е. классы а₁и b₁ , также равны. По его мнению, отрицание всякого равенства приводит к новому равенству, тождественному первоначальному.

Операция отрицания над системами равенств, по мнению Порецкого, непригодна. К соединению двух и более равенств в одно новое равенство пригодны лишь две логические операции: сложение и умножение отдельных частей равенств, причем пред­варительно каждое отдельное равенство может быть в случае надобности заменено его отрицанием.

В созданной им теории логики Порецкий подчеркивал вза­имосвязь двух проблем: выведения следствия из заданной систе­мы посылок и нахождения тех посылок, из которых данное логическое равенство может быть получено в качестве следствия. Несколько подробнее остановимся на методе нахождения всех простых следствий из данных посылок, который в теории логики получил название метода Порецкого — Блэйка (его предложил американский математик Блэйк¹⁹ на основе работы Порецкого).

Простым следствием из данных посылок называется дизъюн­кция каких-либо букв или их отрицаний, являющаяся логическим следствием из этих посылок, и притом таким, которое не погло­щается никаким более сильным следствием такого же вида. (Мы говорим, что а сильнее b, если из а следует b, но из b не следует а.)

Все простые следствия из данных посылок можно получить, выполнив преобразования следующих пяти типов:

1) привести конъюнкцию посылок к конъюнктивной нормаль­ной форме (КНФ). КНФ есть конъюнкция из дизъюнкций элемен­тарных высказываний или их отрицаний, эквивалентная данному выражению [т. е. если есть импликация, то се надо заменить на дизъюнкцию по формуле

2)произвести все операции «отбрасывания», т. е. члены вида можно исключить, так как этот член тож­дественно истинен;

3)использовать законы выявления, т. е. формулы

4) произвести все «поглощения» на основании законов погло­щения:

5) из всех повторяющихся членов оставить только один (на основании законов идемпотентности).

В результате получится силлогистический многочлен, кото­рый будет содержать все простые следствия из данных посылок, и только простые следствия. Они интереснее, чем обычные логи­ческие следствия, так как зависят от меньшего числа параметров (элементарных высказываний).

Покажем это на конкретной задаче. Из данных трех посылок, имеющих следующие формы: — требуется вывести все разные (неэквивалентные между собой) формы простых логических следствий. Для решения задачи выполним следующие операции.

1. Соединяем посылки знаками конъюнкции и приводим вы­ражение к КНФ:

или, в другой записи,

2. В полученной КНФ к членам 1 и 3 применяем закон выявления, получаем

Затем к членам 2 и 4 снова применяем этот же закон:

3. Производим операции «поглощения». Первый член (qr) поглощается четвертым (q), поэтому отбрасываем первый член, а второй член (pq) поглощается пятым членом (р). В результате этого получим

Вывод: при данных посылках суждения г и р истинны, а сужде­ние q ложно, т. е. если суждениями выражены некоторые собы­тия, то событие г и событие ρ наступят, а событие q не наступит.

Исследования Порецкого продолжают оказывать стимулиру­ющее влияние на развитие алгебраических теорий логики и в на­ши дни.

В XX в. математическая логика развивалась в трудах Ч. С. Пирса и Дж. Пеано.

Американский логик Чарльз Сандерс Пирс (1839—1914) внес существенный вклад в разработку алгебро-логических концепций и явился основоположником новой науки — семиотики (общей теории знаков). В работах Пирса содержится тенденция к рас­членению семиотики: на прагматику (анализирует отношение знака к его исследователю), семантику (выясняет отношение зна­ка к обозначаемому им объекту) и синтактику (исследует взаимо­отношения между знаками).

Пирс пишет о том, что реальное можно определить как нечто, свойства которого независимы от того, что о них мыслят. Наибо­лее общим подразделением знаков он считал такие: изображения (icons), индексы (indices) и символы (symbols). Пирс предлагал классификацию знаков и по другим основаниям.

Пирс предложил строить исчисление высказываний лишь на одной операции, этим предвосхитив результаты М. X. Шеффера (Шеффер также строил исчисление высказываний на одной опера­ции, которая вошла в историю логики под именем ее созда­теля — штрих Шеффера). Единственной логической операцией Пирс предлагал считать отрицание нестрогой дизъюнкции.

Пирсу принадлежит работа по логике «Studies in Logic» и др.

Достижения Джузеппе Пеано (1858—1932), итальянского ма­тематика, явились переходным звеном от алгебры логики, в том виде, какой ей придали Буль, Шрёдер, Порецкий и Пирс, к со­временной форме математической логики. Основные результаты Пеано были опубликованы в пятитомном «Формуляре математи­ки»²¹.

Пеано ввел следующие употребляющиеся и выне символы:

а) — знак принадлежности элемента к классу; б) — знак включения одного класса в другой класс; в) — знак объединения классов; г) — знах для обозначения операции пересечения классов.

Крупным вкладом Пеано в развитие аксиоматического мето­да явилась его система из пяти аксиом для арифметики натура­льных чисел. На базе своей аксиоматики Пеано строит всю теорию натуральных чисел.

На заключительном этапе своей научной деятельности Пеано приступил к систематическому изложению логики как особой, по его мнению, математической дисциплины.

Далее развитие математической логики осуществлялось по многим направлениям, а также в проблемном плане. Это было обусловлено необходимостью дальнейшего освоения как клас­сической и неклассической логик, так и в связи свозникшими трудностями в обосновании математики.