Роль математики в развитии естественных наук

Надо помнить, что применение математики в той или иной об­ласти знания — не простое дело. При существующем уровне разви­тия как математики, так и других наук, стремящихся ее использо­вать, не всегда удается применить математические методы. Для того чтобы математика могла быть использована в той или иной отрасли

знаний, необходимо выработать систему понятий, допускающих ма­тематическую обработку (например, понятия силы тока и разности потенциалов в электричестве, атомного веса и валентности элемен­та в химии, информации в теории информации, гена в генетике и др.). Математику можно применять в определенной области науки только в том случае, если проблемы и системы понятий в этой об­ласти науки сформулированы настолько ясно, что допускают мате­матическую обработку.

Указанное условие теснейшим образом переплетается с наличи­ем соответствующего математического аппарата. Аппарат классиче­ской математики развивался главным образом под влиянием стиму­лов, идущих от механики и физики в целом. И в наше время в зна­чительной степени дело обстоит именно так. Аппарат, обслужи­вающий определенную отрасль знания, совсем не обязательно дол­жен так же хорошо работать в другой. Как правило, этого не быва­ет. Для математизации новой отрасли знания оказывается необхо­димым и соответствующее развитие математического аппарата. Так, например, для расчета конфигурации стадиона достаточно евклидо-иой геометрии, а для решения проблем космологии требуется гео­метрия Римана. Для изучения равномерного прямолинейного дви­жения достаточно постоянных величин, а для изучения ускоренно­го движения необходимо дифференциальное исчисление. Для клас­сической механики достаточно обычной алгебры, а в квантовой механике используется некоммутирующая алгебра и т.д. Качествен­но различные процессы требуют для своего описания и различных математических методов, для познания этих процессов необходим специфический математический аппарат. И математика, отвлекаясь от качественных особенностей объектов, создает богатейший набор структур, дающих возможность эти особенности познать.

В настоящее время мы являемся свидетелями возрастания удель­ного веса химических, биологических и даже гуманитарных наук в качестве «заказчиков» математического инструментария. Такие об­ласти математики, как теория игр, теория алгоритмов и ряд других, возникли и развиваются во многом под влиянием запросов, идущих со стороны этих наук.

Рассмотрение вопроса, в чем состоит роль математики в разви­тии естественных наук, целесообразнее всего осуществить на при­мере наиболее математизированной науки — физики. Вспомним, что в основе любого познания исходным всегда выступает обычный, естественный язык повседневного общения. Первоначальные сведе­ния о мире человек получает с его помощью. Но по мере развития науки естественного языка оказывается недостаточно. Основная за­дача науки — познание объективных законов. Это познание обычно начинается с изучения опытных фактов и установления качествен­ных зависимостей между ними.

Появление естествознания в строгом смысле слова (начиная с XVII в.) было отмечено прежде всего переходом от констатации лишь качественных зависимостей к установлению строгих количе­ственных соотношений. Этот переход предполагает вычленение от­дельных сторон эксперимента, допускающих точное измерение, то есть математическую обработку. «...В естествознании основные по­нятия общих законов должны быть определены с предельной сте­пенью точности, а это возможно только с помощью математиче­ской абстракции», — утверждал выдающийся немецкий физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии В. Гейзенберг (1901—1976).

Итак, развитие познания, переход от эмпирической констата­ции к формулировке общих фундаментальных законов требуют пе­рехода от естественного языка к языку математики.

Что дает естествоиспытателю применение математического ап­парата?

1. Точное описание течения событий. Применение математиче­
ского языка позволяет формулировать основные законы теории в
виде соответствующих уравнений и тем самым прогнозировать те­
чение событий.

Например, исходя из второго закона Ньютона, выраженного весьма несложным уравнением

F= та,

можно определить, какое ускорение приобретет тело массой т под действием силы F:

F _а-—.

т

Уравнения небесной механики дают возможность предсказать поведение небесных тел, уравнения термодинамики — течение теп­ловых процессов, уравнения квантовой механики — течение собы­тий в микромире. Причем точное предсказание не надо понимать в духе лапласовского детерминизма. Так, например, уравнения кванто­вой механики дают не менее точные, хотя и вероятностные, предска­зания в своей области.

2. Предсказание новых явлений. Математически сформулирован­
ная теория открывает широкие возможности для предсказания но­
вых, дотоле неизвестных явлений. Причем предсказания могут стро­
иться как на основе существующей теории с ее некоторыми уточне­
ниями, так и на основе видоизмененной теории. Классическим при­
мером может служить добавление английским физиком-теоретиком
Дж. Максвеллом к известным из опыта уравнениям электродинами­
ки уравнения так называемого тока смещения. Решение полученной
системы уравнений позволило ему предсказать существование со­
вершенно нового объекта — электромагнитного поля.

Другой пример — получение английским физиком П. Дираком (1902—1984) релятивистского уравнения движения электрона и предсказание на его основе существования позитрона — первой известной античастицы.

Конечно же, предсказание и электромагнитного поля, и пози­трона было получено не только из «чистой» математики, оно опи­ралось на опытные данные, но обойтись без выражения этих дан­ных на языке математики было невозможно.

3. Эвристическая роль математики в создании новых теорий. Ма­
тематическая форма законов природы часто создает условия для
качественно новых обобщений. Надо опять-таки помнить, что эти
обобщения не могут быть выведены из одной лишь математической
формулы — основой для них, в конечном счете, служит эксперимент.
Однако без использования соответствующих математических форм
такие обобщения были бы попросту невозможны. Ярким подтверж­
дением тому является создание Дж. Максвеллом его системы уравне­
ний и А. Эйнштейном общей теории относительности, а также воз­
никновение квантовой механики. Так, А. Эйнштейн отмечал, что
без предшествующего развития геометрии ему бы не удалось сфор­
мулировать теорию относительности. Становление квантовой меха­
ники было существенно облегчено тем, что в классической механи­
ке бьии получены различные математические формы выражения ос­
новных законов движения: уравнения Лагранжа, Гамильтона, Га­
мильтона—Якоби и др.

4. Возможность проверки теорий, претендующих на установление
фундаментальных законов природы. Строгая проверка выдвигаемых
гипотез, указывающих пока лишь на предполагаемые законы, стано­
вится возможной лишь тогда, когда эти предположения получают
адекватное математическое выражение. Первоначально квантовая тео­
рия Бора включала в себя так называемые квантовые постулаты. Бла­
годаря тому, что эти постулаты имели точную математическую фор­
мулировку, из них удалось вывести теоретические выражения для
ряда эмпирических закономерностей и установить значения неко­
торых констант, что и явилось блестящим подтверждением самой
теории.

Вообще говоря, на современном уровне развития естествозна­ния гипотеза утверждается в науке лишь в том случае, если ее ос­новные положения получают количественное математическое вы­ражение, открывая тем самым возможность выведения следствий, допускающих количественное сопоставление с экспериментом. На­пример, атомистическая гипотеза была высказана еще в глубокой древности, но ее окончательное признание произошло лишь тогда, когда она оказалась развитой до такой степени, что на ее основе стало возможным получать количественно определенные следствия. Закон Авогадро, составляющий одно из положений современной

атомной теории и утверждающий, что в грамм-моле любого веще­ства содержится одинаковое число молекул, мог быть доказан, ко­гда на основе различных количественных законов было определено это число. В настоящее время существует до 20 независимых спосо­бов определения числа Авогадро (по барометрической формуле, на основе закона броуновского движения, из закономерностей проте­кания радиоактивных процессов и т.д.). Тот факт, что столь раз­личные и независимые методы дают одно и то же численное значе­ние, служит доказательством истинности закона Авогадро и веским аргументом в пользу атомной теории в целом.

Приведенные примеры свидетельствуют о важной роли матема­тики в развитии физики. Процесс математизации характерен и для других естественных наук. В середине XX в. даже высказывалось опасение, что математизация может привести к их трансформации в различные ветви математики. Но надо помнить, что развитие са­мой математической теории всегда связано с глубоким научным анализом применяемых и вновь создаваемых математических схем.

Ярким примером эффективности применения математического аппарата является такая наука, как астрономия. Английский астро­ном Э. Галлей (1656—1742) в 1682 г. обнаружил появившуюся на небе комету. Изучая архивные записи прошлых лет, в которых опи­сывалась какая-то периодически появляющаяся возле Солнца коме­та, он предположил, что это именно она и что можно рассчитать ее очередное появление. Путем математических вычислений он пред­сказал ее очередное наблюдение на небе в 1758 г. Но этому прогно­зу современники Галлея не поверили. Уж очень не верилось в то, что только на основе математических вычислений можно предска­зать появление космического тела. Сегодня это кажется само собой разумеющимся, но тогда его прогноз назвали чистой фантазией.

Спустя десятилетия французский математик и астроном А. Клеро (1713—1765) заинтересовался расчетами Галлея, которого уже не было в живых, и решил проверить их. К тому моменту Клеро имел возмож­ность строить свои вычисления с учетом многих накопленных дополни­тельных данных. В результате он вычислил, что комета приблизится к Солнцу и будет визуально наблюдаема не в 1758 г., как предсказал Галлей, а в апреле 1759 г. Комета же появилась в мае 1759 г. Допу­щенная ошибка в один месяц для того времени и существовавших вычислительных возможностей была совсем небольшой.

Дальнейшие вычисления показали, что комета снова должна появиться в 1835 г. И, действительно, в предсказанный срок комета появилась на небе. Погрешность вычислений составила тогда всего лишь три дня. В настоящее время она сведена до минут.

Известны и другие открытия небесных тел с помощью матема­тических вычислений. Возьмем, к примеру, небесную механику или учение о движении планет. Закон всемирного тяготения, выражен-

ный достаточно несложной математической формулой, позволяет астрономам определять почти все явления, связанные с движением космических тел под действием сил гравитации. Более того, приме­нение математических методов позволило астрономам теоретически предсказать неизвестные до того времени планеты.

Примерно до середины XIX в. считалось, что вокруг Солнца обращаются не девять больших планет: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун и Плутон, а только семь пер­вых. О Нептуне и Плутоне науке еще ничего не было известно.

В 1783 г. русский академик А.И. Лексель (1740—1784), изучая дви­жение планеты Уран, установил определенные отклонения в траек­тории ее движения. Изменение орбиты Урана притяжением извест­ных космических тел не объяснялось. Он предположил, что за Ура­ном находится еще одна пока неизвестная планета. В силу различных обстоятельств выдвинутое А.И. Лекселем предположение так и оста­лось непроверенным. Но оно дало толчок к поиску новой планеты.

Спустя полвека англичанин Дж. Адаме (1819—1892) и француз У. Леверье (1811—1877) независимо друг от друга занялись поисками на небе неизвестной планеты. Оба ученых решили сначала, используя математические вычисления, определить местонахождение на небе этой планеты, а потом с помощью телескопа отыскать ее визуально.

Первым в сентябре 1845 г. со своей задачей справился англий­ский астроном Дж. Адаме. Однако директор Гринвичской обсерва­тории, которому Дж. Адаме доложил результаты своих вычислений, не придал им серьезного значения. И поиски планеты организова­ны не были.

Свою работу француз У. Леверье закончил на год позже, чем Дж. Адаме. Полученные результаты он сообщил Берлинской астро­номической обсерватории. Наблюдения подтвердили наличие но­вой планеты, которая была названа Нептуном.

Существование Плутона так же вначале было предсказано на основе математических расчетов американским астрономом П. Ло-веллом (1855—1916) в 1915 г., а спустя 15 лет, следуя указаниям П. Ло-велла, оптическая астрономия обнаружила планету Плутон.

К концу XX в. науке было известно около двух тысяч различ­ных малых планет, или астероидов, других космических тел, вычис­лением орбит которых занимаются астрономы. На основе матема­тических вычислений составляются таблицы, в которых указывают положение на небе отслеживаемых космических тел на любой мо­мент времени.

С помощью математики астрономы в наши дни на тысячи лет вперед с точностью до одной секунды предсказывают многие ас­трономические явления. Так, например, очередное полное солнеч­ное затмение в Москве произойдет в 11 часов 16 октября 2126 г.

Важную роль выполняет математика в химии. Здесь метод ма­тематического моделирования позволяет свести задачу изучения различных химических процессов к задаче изучения свойств мате­матической модели, представляющей собой систему уравнений ма­тематического описания процессов. Модель с помощью определен­ного алгоритма позволяет прогнозировать течение химических про­цессов. В зависимости от целей моделирования применяются раз­личные по форме и структуре математические модели, но наиболее применяемыми являются детерминированные, статистические и сто­хастические модели.

Детерминированные модели строятся на основе математически выраженных закономерностей, описывающих физико-химические процессы. Они позволяют однозначно определять значения пере­менных, которые характеризуют свойства того или иного объекта. Применение стохастического метода требует разумного сочетания сложности создаваемой модели с допустимыми упрощениями. Чрезвычайно усложненная модель, учитывающая множество второ­степенных факторов, потребует большого объема вычислений при решении входящих в нее уравнений. Слишком упрощенная модель может привести к необходимости проверки адекватности модели реальному процессу. Такая проверка осуществляется путем сравне­ния экспериментальных данных с результатами моделирования. При неполной адекватности значения неточно заданных парамет­ров модели корректируются. Важнейшие сферы применения детер­минированных моделей в химии — это моделирование отдельных химических аппаратов и технологических схем.

Статистические модели строятся на основе экспериментальных данных, выражающих системы соотношений, связывающих вход­ные и выходные параметры объекта. Вид этих соотношений, как правило, задается априорно, а определению подлежат лишь значе­ния некоторых параметров. При построении статистических моде­лей необходимо применение аппарата математической статистики, так как в результатах экспериментов могут содержаться случайные ошибки.

Стохастические модели строятся на основе вероятностных пред­ставлений о процессах в объекте моделирования и позволяют про­гнозировать его поведение путем вычисления функций распределе­ния вероятностей, характеризующих исследуемые свойства объекта. Важнейшие сферы применения стохастических моделей в химии — моделирование больших систем (агрегатов, технологических про­цессов, предприятий и т.д.).

Математический метод в биологических науках имеет свою спе­цифику. Его применение осуществляется главным образом через 'I кибернетику. Биокибернетика представляет собой научное направ­ление, связанное с проникновением идей, методов и технических

средств кибернетики в биологию. Одним из важнейших методов биологической кибернетики является моделирование структуры и закономерностей поведения живой системы. Такое моделирование включает в себя конструирование искусственных систем, воспроиз­водящих определенные стороны деятельности живых организмов, их внутренние связи и внешние отношения. Примером могут слу­жить устройства для автоматического управления биологическими функциями или хорошо известное биопротезирование, различные устройства для анализа состояния человека, занимающегося спор­том, находящегося в экстремальных условиях, и т.д.

Практика показала, что использование методов кибернетики для получения, анализа и хранения информации в биологии спо­собствует установлению новых количественных и качественных от­ношений изучаемых процессов и явлений.

Итак, математика в современном естествознании — не просто способ расчета, она является наиболее адекватным языком для формулирования основных законов, которые вне этого языка не могут быть даже приблизительно определены. Современные физи­ка, химия, биология проникли в такие области действительности, где для изучаемых ими объектов уже нельзя подобрать соответст­вующие наглядные образы, всегда так или иначе связанные с со­держанием нашего повседневного опыта. В этих условиях для объ­яснения изучаемых явлений исключительное значение приобретают математические методы и построение математических моделей.

Одним из важнейших достижений XX в. является разработка и активное применение электронно-вычислительных машин. Это бы­ло бы невозможно, если бы в XIX в. не возникла специальная ма­тематическая дисциплина — математическая логика. Она представ­ляет собой обычную логику, развиваемую математическими мето­дами. Ее создатели стремились показать, что люди, овладев матема­тической логикой, смогут более продуктивно решать мыслительные задачи на обыденном уровне. Оказалось, что на самом деле назначе­ние математической логики гораздо шире. На ее основе можно раз­работать такую теорию логического вывода, которая позволяет скон­струировать ЭВМ. К середине прошлого века стало ясно, что раздел математической логики, называемый исчислением высказываний, содержит формулы, описывающие не только операции над выска­зываниями, но и работу релейно-контактных схем, что является одной из основ создания электронно-вычислительной техники.

Для математической логики характерным также является ис­пользование формальных языков с четкими обозначениями и пра­вилами, однозначно определяющими понимание формул. Это от­крывает возможность ее широкого применения для разработки ме­тодов программирования.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Охарактеризуйте основные временные этапы развития мате­
матики.

2. Как изменялся предмет математики в процессе ее развития?

3. Каким образом математические отвлечения способствуют
решению той или иной конкретной задачи?

4. Обоснуйте объективность предпосылок математизации есте­
ственно-научного знания.

5. Какие преимущества дает естествоиспытателю применение
математического аппарата?

6. Приведите примеры эффективного применения математиче­
ских расчетов в астрономии.

7. Опишите, для чего применяются детерминированные, стати­
стические и стохастические модели в химии.

8. В чем проявляется применение математических методов в
биологии?

Библиографический список

1. Аристотель. Физика. — М.: Соцэкгиз, 1936.

2. Александров А. Математика // Философская энциклопедия. — М.:
Советская энциклопедия, 1962.

3. Гегель Г.В.Ф. Энциклопедия философских наук. — М.: Мысль,
1975.

4. Евклид. Начала. - М.-Л.: ГИТИ, 1948-1950.

5. Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функ­
ционального анализа. — М.: Наука, 1991.

6. Поппер К. Логика и рост научного знания. — М.: Прогресс, 1983.

7. Эйнштейн А. Собрание научных трудов: В 4 т. — М.: Наука, 1967.

8. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. по­
собие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др. —
М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999.

9. Энгельс Ф. Диалектика природы. — СПб.: Азбука, 2000.