ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ И МАТЕМАТИКА

овременный этап развития математики характеризуется усиленным проникновением ее методов в различные области естествознания, или, как принято говорить, происходит математизация естественно­научного знания. Ученые объясняют это разными причинами, напри­мер уровнем развития конкретных наук, требующим привлечения ма­тематического аппарата; расширением границ самой математики; раз­витием кибернетики и вычислительной техники и др. Математика как универсальный научный язык позволяет точно и лаконично отображать конкретные научные утверждения.

На сегодняшний день частные естественные науки математизированы в разной степени: физика и химия в большей, биология в меньшей. Био­логические явления, будучи весьма сложными по своей структуре, го­раздо труднее поддаются математическому описанию, однако ученые постоянно концентрируют свои усилия на решении данной проблемы.

4.1. Математика как наука, ее становление и развитие. Изменение предмета математики в процессе ее исторического развития

Математика (греч. mathematike, от mathema — знание, наука) — это наука о количественных отношениях и пространственных фор­мах действительного мира. Такова «чистая» математика.

□ Математика — универсальная наука

Всякая математическая теория есть обобщение. Она дает возмож­ность решать большое число различных задач. Сила математики — в ее отвлеченности от частных, специфических свойств предметов и явлений. Именно это обстоятельство делает ее универсальной, при­годной для решения конкретных задач в любой сфере природы и общества. Выдающийся русский математик П.Л. Чебышев (1821— 1894) отмечал, что всякое соотношение между математическими символами соответствует соотношению между реальными вещами, а математическое рассуждение равнозначно эксперименту безуко­ризненной точности, повторенному неограниченное число раз, и

должно приводить к логически и материально безошибочным вы­водам. Таким образом, математические отвлечения направлены на разрешение конкретных вопросов практической деятельности чело­века. Встает вопрос: «Каким же образом математические отвлече­ния способствуют решению какой-то конкретной задачи?»

К примеру, мы доказали теорему Пифагора о том, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы:

А² + В²= С².

Знание приведенного выше равенства — это отвлеченное знание. Оно необходимо, чтобы находить определенный, конкретный ответ в задачах вычисления длин сторон прямоугольного треугольника. Вспомним формулу разности квадратов двух чисел:

а² - Ь² = (а + Ь)(а - Ь).

Эта формула в приведенном виде имеет отвлеченный математи­ческий смысл, однако в ходе практического применения наполня­ется конкретным содержанием. Предположим, что нам необходимо устно перемножить два числа, например 46 и 34. На основе приве­денной формулы данное математическое действие можно предста­вить в конкретном виде:

(40 + 6) • (40 - 6) = 40² - б² = 1600 - 36 = 1564.

Получаем конкретный ответ — 1564.

Даже на одном этом примере очевидна связь отвлеченных мате­матических понятий с конкретными знаниями — на их основе по­строены все вычисления, способы и приемы рационального, упро­щенного решения тех или иных задач.

Математика, как и всякая наука, имеет свою историю развития. В ее периодизации принято выделять четыре основных периода:

1) период зарождения математики;

2) период математики постоянных величин;

3) период математики переменных величин;

4) период математики переменных отношений (современная ма­
тематика).

□ первый период

Для первого периода характерно формирование понятий «чис­ло» и «фигура», возникновение зачатков арифметики и геометрии, выработка приемов арифметических действий над натуральными числами. Однако на рубеже VI—V вв. до н. э. математики древно­сти, считая и измеряя объекты, уже отвлекались от их конкретной качественной природы.

В этот период древнегреческий философ, религиозный и поли­тический деятель Пифагор Самосский (VI в. до н. э.) обосновал ре-

лигиозно-философское учение, получившее название пифагореизма. Его представители исходили из представления о числе как об осно­ве всего сущего. По их представлениям, числовые соотношения — источник гармонии Космоса, структура которого мыслилась как физико-геометрическо-акустическое единство. Пифагореизм внес значительный вклад в развитие математики, астрономии и акустики того времени.

□ Второй период

С этого времени (VI—V вв. до н. э.) можно говорить о втором периоде развития математики. Возникло понимание самостоятель­ного положения математики как особой науки, имеющей свой пред­мет (число и фигура). Заканчивается данный период к началу XVII в.

Сравнивая начальные периоды развития математики, можно отметить, что для первого было характерно эмпирическое обосно­вание положений арифметики и геометрии, для второго — проник­новение в математику отвлеченных рассуждений. Сохранившиеся тексты Древнего Египта, Древнего Китая, Древней Индии свиде­тельствуют о том, что математика этого периода располагает зна­ниями, имеющими выводной характер. Например, в Древнем Егип­те был известен способ нахождения объема усеченной пирамиды, а его нельзя получить эмпирически. Уже тогда были выработаны не­которые общие приемы, применяемые к однородным числовым задачам.

Древнегреческие математики пифагорейской школы еще в VI— V вв. до н. э. уделяли большое внимание логической доказательности математических построений, предпринимая попытки расположить цепь математических доказательств в определенной последователь­ности. Этот метод, получивший название «дедуктивного», развили Евклид и Архимед (ок. 287—212 до н. э.). Следует подчеркнуть, что их понятие доказательства ничем существенно не отличается от аналогичного понятия сегодня.

Как наука, математика окончательно сложилась только тогда, когда в ней начали систематически применяться логические доказа­тельства, когда ее положения стали устанавливаться в общем виде, выводиться не только путем непосредственных измерений, но и при помощи умозаключений.

Характерно, что математика этого периода строится чаще всего не только на основе дедуктивного, но и аксиоматического метода. Под аксиоматическим методом понимается такое построение опре­деленной научной дисциплины, когда ряд ее положений (аксиом) принимается без доказательства, а все остальные положения (тео­ремы) строго выводятся из аксиом по заранее фиксированным ло­гическим законам или правилам. И в наше время этот метод широ-

ко применяется в различных науках (математике, физике, химии, биологии и т.д.).

Образцом аксиоматического построения геометрии и арифмети­ки были «Начала Евклида» (III в. до н. э.). Несмотря на то, что гео­метрия Евклида была далека от совершенства, заслуга ее автора, разработавшего аксиоматический метод и применившего его к гео­метрии и арифметике, неоспорима.

Еще одним достижением второго периода развития математики явилось создание алгебры. Возникновение и развитие алгебры озна­чало переход на новую ступень абстракции: математики стали от­влекаться не только от качественных свойств предметов, как это имело место при введении понятия числа, но и от количественного значения символов чисел. Например, если число 5 выражает общее свойство любых предметов быть в числе пяти, отвлекаясь от кон­кретной качественной природы объектов, то применение символов а, Ь, с, .... позволило отвлечься и от конкретного количественного содер­жания чисел. Ведь символ «а» может означать и 2, и 5, и 10, и т.д.

□ Третий период

Третий период (середина XVII—XIX вв.) связан с дальнейшим расширением круга изучаемых количественных отношений и про­странственных форм. Математика теперь уже не ограничивается числами и геометрическими фигурами, она отражает идеи непрерыв­ности и движения. На первый план выдвигается понятие функции.

Возникновение аналитической геометрии означало открытие универсального метода перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа. Геометрия на некоторый период оказалась в подчинен­ном положении. Арифметику, алгебру и анализ с теорией функций стали рассматривать как части «чистой» математики, в качестве предмета которой понимали числа, величины и зависимости между ними. Геометрию же стали рассматривать как «прикладную» мате­матику, применявшую результаты «чистой».

Появление и развитие дифференциального исчисления имело ог­ромное преимущество, так как дифференциальные выражения с самого начала служили в качестве оперативных формул для нахож­дения реальных эквивалентов.

□ четвертый период

Середину XIX в. принято считать началом четвертого периода — периода современной математики. С этого момента математическая теория стала настолько абстрактной, что перешагнула за пределы классической концепции математики, рассматривающей в качестве своего предмета числа и фигуры. Новые понятия и идеи привели к

тому, что классическая концепция, хотя и продолжала официально признаваться большинством ученых, постепенно все более вступала в противоречие с действительным состоянием науки. Это противо­речие до поры до времени еще удавалось разрешить путем отыска­ния соответствующих интерпретаций (или моделей) в других разде­лах математики.

В XIX—XX вв. возросла потребность в применении математиче­ского аппарата для описания новых теорий, создаваемых физиками, химиками, биологами и т.д. Если, например, до этого времени для описания механических явлений было достаточно приложений ма­тематического анализа, то с возникновением электродинамики, тео­рии магнетизма потребовались новые математические идеи. В соот­ветствии с этим в математической науке появились новые понятия. Так, например, в алгебре к таким понятиям следует отнести мнимо­сти Галуа, идеальные числа Куммера, векторы, кватернионы, и-мер-ные пространства, поливекторы, тензоры, булеву алгебру и т.д.

Наглядно видно, как с развитием математики изменяется ее предмет. Происходит его усложнение — от изучения постоянных ве­личин к изучению переменных величин и переменных отношений.

4.2. Объективные предпосылки математизации естественно-научного знания

Как известно, естествознание включает в себя ряд частных на­ук, получивших такое название потому, что в отличие от естество­знания они изучают лишь какую-то часть или какую-то отдельную область окружающего нас мира (физика, химия, биология и т.д.). Частные естественные науки взаимопроникаемы. На их стыке рож­даются новые науки, например физикохимия, астрофизика, биохи­мия и т.д. В определенном смысле математику также следует отнести к частным наукам. Ее прикладные области сегодня весьма обширны. Наблюдается активное проникновение математических методов в различные разделы научного знания, т.е. его математизация. Среди причин, обусловливающих математизацию естествознания, можно назвать, например, возрастающий уровень развития частных наук, который порождает необходимость в привлечении математического аппарата и расширении границ самой математики, развитие киберне­тики, вычислительной техники и др.

При этом общеизвестно, что каких-либо частнонаучных зако­нов, сфера действия которых выходила бы за рамки той или иной частной науки, не существует. Беспредельность сферы действия при­знается лишь за философскими обобщениями. Возникает вопрос: «Правомерны ли представления о математизации различных отрас-

лей естественно-научного знания, если сама математика является в известном смысле частной наукой?»

Как считают ученые, ответ на этот вопрос кроется в самом предмете математики, который и определяет ее проникновение в различные отрасли научного знания. Уяснение сферы действия ма­тематических законов зависит прежде всего от понимания количе­ства и качества как объективных определенностей явлений и объек­тов существующего мира, взаимосвязи в них количества и качества посредством меры.

Смысл этих понятий был установлен еще Г. Гегелем (1770—1831). Однако распространено довольно узкое понимание количества, со­гласно которому данное понятие сводят к числовым характеристи­кам предметов, их пространственным размерам или объему. На са­мом деле количество представляет собой такую определенность объекта, изменение которой в известных пределах не вызывает пре­вращения данного объекта в другой объект. Это определение коли­чества будет справедливо для любого явления, процесса или вообще для какой-либо стороны материального мира. Качество — это тоже определенность объекта, но определенность другого рода: ее изме­нение вызывает превращение данного объекта в другой объект.

Любому материальному объекту присуще неисчерпаемое мно­жество количественных и качественных определенностей. При этом любое качество проявляется через бесконечное множество свойств, каждое из которых представляет собой не что иное, как количест­венную градацию того или иного качества. Количество и качество объекта существуют в неразрывном единстве, выражающемся в фи­лософии посредством понятия «меры». Количество проявляется через неисчерпаемое множество форм. Одни из них являются все­общими, другие — частными или характерными лишь для ограни­ченной области материального мира.

Математика имеет дело и с теми и с другими формами. Это оз­начает, что некоторые математические законы по сфере своего при­менения выступают как всеобщие. Эта всеобщность как раз и явля­ется основой процесса математизации научного знания, причина которой существует объективно.