Релейно-контактные схемы

Релейно-контактной схемой (РКС) или переключательной схемой называется схематическое изображение устройства, состоящего из следующих элементов:

1) переключателей (контактов, реле, ламп и др.);

2) соединительных проводников;

3) входов-выходов (полюсов РКС).

Рассмотрим простейшую РКС, содержащую один переключатель Р. Если переключателю Р поставить в соответствие высказывание х: «Переключатель Р замкнут», то истинному значению х (х = 1) будет соответствовать замкнутое состояние переключателя, при котором РКС проводит ток, т.е. импульс, поступающий на вход, может быть снят на выходе. Значению х = 0 будет соответствовать разомкнутое состояние РКС (ток не проводится). Каждой РКС, состоящей из нескольких переключателей, можно поставить в соответствие высказывание, выраженное некоторой формулой А, таким образом, что истинному значению формулы (А = 1) будет соответствовать замкнутое состояние РКС, а значению А = 0 – разомкнутое состояние. Примеры таких соответствий приведены в таблице.

Простейшие РКС и соответствующие им формулы логики.

РКС	Формула	Значения
Переключатель х:	Простейшее высказывание: х	х = 1, если переключатель замкнут; х = 0, если переключатель разомкнут
Переключатель	Отрицание простейшего высказывания:	= 0, если переключатель замкнут; = 1, если переключатель разомкнут
Последовательное соединение: (схема замкнута, когда оба переключателя замкнуты)	Конъюнкция высказываний: x Ù y
Параллельное соединение: (схема разомкнута, когда оба переключателя разомкнуты)	Дизъюнкция высказываний: x Ú y
Схема, которая всегда разомкнута	x Ù	x Ù º 0
Схема, которая всегда замкнута	x Ú	x Ú º 1

Из простейших РКС путем их последовательного и параллельного соединения могут быть построены более сложные переключательные схемы.

Доказано, что любая формула алгебры логики может быть преобразована к виду, содержащему только операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Это позволяет изображать логические формулы при помощи РКС, а РКС задавать формулами.

Например, согласно формулам основных равносильностей

x ® y º Ú y и x « y º (x ® y) Ù (y ® x),

следовательно, логическим операциям импликации и эквиваленции соответствуют РКС, изображенные рис. 1.

Используя равносильные преобразования логической формулы, соответствующей некоторой РКС, можно упростить РКС, т.е. привести ее к виду, содержащему меньшее число переключателей.

1. Образец решения.

Пример.

Упростить РКС, изображенную на рис. 2.

Решение. Запишем

соответствующую РКС формулу, используя таблицу простейших РКС и соответствующих им формул логики:

.

Упростим формулу, используя основные равносильности:

.

Таким образом, . Построим РКС, соответствующую упрощенной формуле (рис. 3).

Содержание работы

Задание 1. Используя понятия перестановок, размещений и сочетаний, решите задачи:

1.1. Сколькими способами в бригаде, состоящей из пяти рабочих, можно распределить три путевки: в дом отдыха, в санаторий и на турбазу?

1.2. Группа из 28 учащихся обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

1.3. В поезде 6 вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам 6 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?

1.4. Сколькими способами 7 различных путевок можно распределить в бригаде из 7 рабочих?

1.5. Сколько шестизначных чисел, делящихся на 25, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если все цифры в числах различны?

Задание 2. Используя понятия перестановок, размещений и сочетаний, решите задачи:

2.1. На шесть сотрудников выделены три одинаковые путевки в дом отдыха. Сколькими способами их можно распределить?

2.2. Сколькими способами можно увезти со склада 10 ящиков на двух автомашинах, если на каждую автомашину грузят по 5 ящиков?

2.3. В стройотряде 15 студентов. Сколькими способами их можно разбить на три бригады численностью 3, 7 и 5 человек?

2.4. На погранзаставе 40 рядовых и 8 офицеров. Сколькими способами из них можно составить наряд по охране границы, если он состоит из двух офицеров и четырех рядовых?

2.5. Из 12 красных и 8 белых гвоздик надо составить букет так, чтобы в нем были 3 красные и 2 белые гвоздики. Сколькими способами можно составить такой букет?

Задание 3. Укажите, высказывание истинно или ложно:

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

Задание 4. Являются ли эквивалентными следующие высказывания:

4.1. и

4.2. и

4.3. и

4.4. и

4.5.

Задание 5. Определить значение истинности высказываний:

5.1. «Число 6 делится на 2 и число 6 делится на 3».

5.2. «На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя и писали самостоятельную работу».

5.3. «Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 3».

5.4. «Число 376 четное и трехзначное».

5.5. «Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3».

Задание 6.Для множеств А и В:

6.1.

1. Найти

2. Доказать равенство и записать двойственное ему:

6.2.

1. Найти

2. Доказать равенство и записать двойственное ему:

6.3.

1. Найти

2. Доказать равенство и записать двойственное ему:

6.4.

1. Найти

2. Доказать равенство и записать двойственное ему:

6.5.

1. Найти

2. Доказать равенство и записать двойственное ему:

Вопросы для самоконтроля

1. Какой раздел математики называют комбинаторикой?
2. Что называется перестановками событий?
3. Что называется размещениями событий?
4. Что называется сочетаниями событий?
5. Что понимают в математической логике под высказыванием?
6. Какие действия выполняются над высказываниями?
7. Что называют алгеброй Буля?
8. Перечислите законы алгебры Буля.
9. Что понимают под множеством?
10. Способы задания множеств.
11. Какое множество называют пустым? Универсальным?
12. Перечислите действия над множествами.
13. Сформулируйте законы действий над множествами.