Центральное поле тяготения

Громоздкой процедуры подбора нужной косми­ческой траектории можно избежать, если задаться целью примерно наметить путь космического аппарата. Оказывается, что для срав­нительно точных расчетов нет нужды учитывать действующие на КА силы притяжения всех небесных тел или даже сколько-нибудь значительного их числа.

Когда космический аппарат находится в мировом пространстве вдали от планет, достаточно учитывать притяжение одного лишь Солнца, потому что гравитационные ускорения, сообщаемые планетами (вследствие больших расстояний и относительной мало­сти их масс), ничтожно малы по сравнению с ускорением, сообщае­мым Солнцем.

Допустим теперь, что мы изучаем движение КА вблизи Земли. Ускорение, сообщаемое этому объекту Солнцем, довольно заметно: оно примерно равно ускорению, сооб­щаемому Солнцем Земле (около 0,6 см/с²); естественно было бы его учитывать, если нас интересует движение объекта относительно Солнца (учитывается же ускорение Земли в ее годовом движении вокруг Солнца!). Но если нас интересует движение КА относительно Земли, то притяжение Солнца оказывается сравнительно малосущественным. Оно не будет вмеши­ваться в это движение аналогично тому, как притяжение Земли не вмешивается в относительное движение предметов на борту корабля-спутника. То же касается и притяжения Луны, не говоря уже о при­тяжениях планет.

Вот почему в космонавтике оказывается весьма удобным при примерных расчетах («в первом приближении») почти всегда рас­сматривать движение КА под действием одного притягивающего небесного тела, т. е. исследовать движение в рам­ках ограниченной задачи двух тел. При этом удается получить важ­ные закономерности, которые совершенно ускользнули бы от нашего внимания, если бы мы решились изучать движение космического аппарата под влиянием всех действующих на него сил.

Будем считать небесное тело однородным материальным шаром или по крайней мере шаром, состоящим из вложенных друг в друга однородных сферических слоев (так примерно обстоит дело для Земли и планет). Математически доказывается, что такое небесное тело притягивает так, будто бы вся его масса сосредоточена в его центре (Это неявно предполагалось, когда мы говорили о задаче п тел. Под расстоя­нием до небесного тела подразумевалось и будет дальше подразумеваться расстоя­ние до его центра). Такое поле тяготения называется центральным или сфе­рическим.

Будем изучать движение в центральном поле тяготения КА, получившего в начальный момент, когда он нахо­дился на расстоянии r₀ от небесного тела (В дальнейшем для краткости мы будем вместо «небесное тело» говорить «Земля»), скорость v₀(r₀и v₀– начальные условия). Для дальнейшего воспользуемся законом сохра­нения механической энергии, который справедлив для рассматри­ваемого случая, так как поле тяготения является потенциальным; наличием же негравитационных сил мы пренебрегаем. Кинетическая энергия космического аппарата равна mv²/2, где т – масса аппара­та, a v – его скорость. Потенциальная энергия в центральном поле тяготения выражается формулой

где М – масса притягивающего небесного тела, a r – расстояние от него КА; потенциальная энергия, будучи отрицательной, увеличивается с удалением от Земли, обращаясь в нуль на бесконечности. Тогда закон сохранения полной механи­ческой энергии запишется в следующем виде:

Здесь в левой части равенства стоит сумма кинетической и потенци­альной энергий в начальный момент, а в правой – в любой другой момент времени. Сократив на т и преобразовав, мы напишем инте­грал энергии – важную формулу, выражающую скорость v космического аппарата на любом расстоянии r от центра притяжения:

где K=fM – величина, характеризующая поле тяготения конкрет­ного небесного тела (гравитационный параметр). Для Земли К=3,986005·10⁵км³/с², для Солнца К =1,32712438·10¹¹км³/с².

Сферические действия планет. Пусть имеются два небесных тела, одно из которых большой массы М, например Солнце, и движущееся вокруг него другое тело значительно меньшей массы m, например Земля или какая-либо другая планета (рис. 2.3).

Положим также, что в поле тяготения этих двух тел находится третье тело, например КА, масса которого μ так мала, что практически совершенно не влияет на движение тел массой М и m. В этом случае можно или рассматривать движение тела μ в поле тяготения планеты и по отношению к планете, считая, что притяжение Солнца оказывает возмущающее влияние на движение этого тела, или наоборот, рассматри­вать движение тела μ в поле тяготения Солнца по отношению к Солнцу, считая, что притяжение планеты оказывает возмущающее влияние на движение этого тела. Для того чтобы выбрать тело, по отношению к которому следует рассматривать движение тела μ в суммарном поле тяготения тел М и m, пользуются введенным Лапласом понятием сферы действия. Область, называемая так, в действительности не является точной сферой, но очень близка к сферической.

Сферой действия планеты по отношению к Солнцу называется такая область вокруг планеты, в которой отношение возмущающей силы со стороны Солнца к силе притяжения тела μ планетой меньше, чем отношение возмущающей силы со стороны планеты к силе притяжения тела μ Солнцем.

Пусть М – масса Солнца, m – масса планеты, а μ – масса КА; R и r –расстояния КА соответственно от Солнца и планеты, причем R значительно больше r.

Сила притяжения массы μ Солнцем

При перемещении тела μ возникнут возмущающие силы

На границе сферы действия, согласно данному выше определению, должно выполняться равенство

где r_o – радиус сферы действия планеты.

Так как r значительно меньше R по условию, то за R обычно принимается расстояние между рассматриваемыми небесными телами. Формула для r_o – является приближенной. Зная массы Солнца и планет и расстояния между ними, можно определить радиусы сфер действия планет по отношению к Солнцу (табл. 2.1, где приведен также радиус сферы действия Луны по отношению к Земле).

Таблица 2.1

Сферы действия планет

Таким образом, понятие сферы действия существенно упрощает расчет траекторий движения КА, сводя задачу движения трех тел к нескольким задачам движения двух тел. Такой подход достаточно строг, как показывают сравнительные расчеты, выполненные методами численно­го интегрирования.

Переходы между орбитами. Движение КА происходит под действием гравитационных сил притяжения. Можно поставить задачи о нахождении оптимальных (с точки зрения минимального требуемого количества топлива или минимального времени на полет) траекторий движения, хотя в общем случае могут быть рассмотрены и другие критерии.

Орбитой называется траектория движения центра масс КА на основном участке полета под действием гравитационных сил. Траекто­рии могут быть эллиптическими, круговыми, гиперболическими или параболическими.

Путем изменения скорости может осуществляться переход КА с одной орбиты на другую, а при выполнении межпланетных полетов КА должен выйти из сферы действия планеты отправления, пройти участок в поле тяготения Солнца и войти в сферу действия планеты назначения (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Орбита КА при полете с планеты на планету:

1 – сфера действия планеты отправления; 2 – сфера действия Солнца, эллипс Романа; 3 – сфера действия планеты назначения

КА на первом участке тра­ектории выводится к границе сферы действия планеты от­правления с заданными пара­метрами либо прямо, либо с выходом на промежуточную орбиту спутника (круговая или эллиптическая промежуточная орбита может быть протяжен­ностью менее одного витка или несколько витков). Если ско­рость КА на границе сферы действия больше или равна местной параболической ско­рости, тогда дальнейшее дви­жение будет либо по гипербо­лической или параболической траектории (следует заметить, что выход из сферы действия планеты отправления может быть выполнен по эллиптической орбите, апогей которой лежит на границе сферы действия планеты).

В случае непосредственного выхода на траекторию межпланетного полета (и большой орбитальной скорости) общая продолжительность полета сокращается.

Гелиоцентрическая скорость на границе сферы действия планеты отправления равна векторной сумме выходной скорости относительно планеты отправления и скорости движения самой планеты по орбите вокруг Солнца. В зависимости от выходной гелиоцентрической скорости на границе сферы действия планеты отправления движение будет проходить по эллиптической, параболической или гиперболической траектории.

Орбита КА будет близка к орбите отправления, если гелиоцентричес­кая скорость выхода КА из сферы действия планеты будет равна ее орбитальной скорости. Если выходная скорость КА больше скорости планеты, но одинакова по направлению, то орбита КА будет распола­гаться вне орбиты планеты отправления. При меньшей и противополож­ной по направлению скорости – внутри орбиты планеты отправления. Меняя геоцентрическую скорость выхода, можно получить эллиптичес­кие гелиоцентрические орбиты, касательные к орбитам внешних или внутренних планет относительно орбиты планеты отправления. Именно такие орбиты могут служить траекториями полета с Земли к Марсу, Венере, Меркурию и Солнцу.

На конечном этапе межпланетного перелета КА входит в сферу действия планеты прибытия, выходит на орбиту ее спутника и произво­дит посадку в заданном районе.

Относительная скорость, с которой КА войдет в движущуюся ему наперерез или нагоняющую его сзади сферу действия, всегда будет больше местной (на границе сферы действия) параболической скорости в поле тяготения планеты. Поэтому траектории внутри сферы действия планеты назначения всегда будут гиперболами и КА должен неизбежно покинуть ее, если только он не войдет в плотные слои атмосферы планеты или не уменьшит скорость до круговой или эллиптической орбит.

Использование гравитационных сип при полетах в космическом пространстве. Силы гравитации являются функциями координат и обладают свойством консервативности: работа, совершаемая силами поля, не зависит от пути, а зависит только от положения начальной и конечной точек пути. Если начальная и конечная точки совпадают, т.е. путь есть замкнутая кривая, то прираще­ния живой силы не происходит. Однако, встречаются случаи, когда это утверждение неверно: например (рис. 2.5), если в точку К (в электрическом поле вокруг изогнутого проводника, по кото­рому течет ток и в котором сило­вые линии замкнуты) помещена заряженная частица, то под дей­ствием сил поля она будет дви­гаться по силовой линии и, вер­нувшись опять в К, будет иметь

некоторую живую силу mv²/2 .

Если точка опять опишет за­мкнутую траекторию, то полу­чит дополнительное приращение живой силы и т.д. Таким образом, можно получить сколь угодно большое увеличение ее кинетической энергии. В этом примере показано, как осуществляется превращение энергии электрического поля в энергию движения точки. Ф. Дж. Дайсон описал возможный принцип устройства «гравитационной машины», использующей для получения работы поля тяжести (Н.Е. Жуковский. Кине­матики, статика, динамика точки. Оборонгиз, 1939; Ф. Дж. Дайсон. Межзвездная связь. «Мир», 1965): в Галактике может быть найдена двой­ная звезда с компонентами А и В, которые вращаются около общего центра масс по некоторой орбите (рис. 2.6). Если масса каждой звезды М, то орбита будет круговой с радиу­сом R. Скорость каждой звезды не­трудно найти из равенства силы притяжения центробежной силе:

По направлению к этой системе движется тело С небольшой массы по траектории CD. Траектория рассчитана так, что тело С подходит близко к звезде В в тот момент, когда эта звезда движется навстречу телу С. Тогда тело С совершит оборот вокруг звезды и далее будет двигаться с увеличенной скоростью. От этого маневра получится почти такой же эффект, как от упругого столкновения тела С со звездой В: скорость тела С будет приблизительно равна 2v. Источником энергии при таком маневре является гравитационный потенциал тел А и В. Если тело С – космический аппарат, то он таким образом получает для дальнейшего полета энергию от поля тяжести за счет взаимного притяжения двух звезд. Таким образом, возможен разгон КА до скорости в тысячи километров в секунду.