Основные законы аэродинамики

При реальном полете самолета непрерывно изменяются скорость и другие параметры воздушного потока, обтекающего самолет. Соответственно изменяются и спектры обтекания, и эпюры распределения давления по поверхности самолета. Такое движение называется неустановившимся. Для создания теоретической модели явления введем упрощения, которые позволят нам выяснить основные закономерности, упростят выводы, не снижая, однако, их практического, инженерного значения.
Упрощение первое. Будем рассматривать только установившееся движение - такое движение воздушного потока, в каждой точке которого параметры (V - скорость, p - давление, ρ - плотность) не меняются с течением времени.
Упрощение второе. Примем так называемуюгипотезу сплошности, или неразрывности, среды. Не будем учитывать молекулярные движения воздуха и межмолекулярные промежутки, т. е. будем рассматривать воздух как сплошную неразрывную среду с определенной плотностью ρ, которая, однако, может изменяться за счет изменения "плотности упаковки" молекул воздуха, имеющих ничтожно малый объем.
Упрощение третье. Будем считать, что вязкость воздуха равна нулю, т. е. нет сил внутреннего трения. Это значит, что из спектра обтекания тела мы удалили пограничный слой, пренебрегли силой лобового сопротивления, обусловленного трением воздуха о поверхность самолета. В дальнейшем, при описании аэродинамических характеристик самолета, учесть эти силы нам позволит специальный раздел аэродинамики - теория пограничного слоя.

Рис. 5.14. К выводу основных уравнений аэродинамики

В соответствии с принятыми упрощениями можно рассматривать движение струйки неразрывной невязкой среды (идеального сжимаемого газа) внутри трубки тока (рис. 5.14), образованной неизменными во времени траекториями частиц воздуха, проходящими по границе струи.
Уравнение неразрывности является математическим описанием закона сохранения материи для струйки идеального сжимаемого газа.
Через сечение струйки I-I внутрь трубки тока за время dt войдет столбик газа объемом F₁V₁dt, где F₁- бесконечно малая площадь столбика (площадь поперечного сечения струйки), м²; V₁ - скорость потока газа на входе в сечение, м/с; V₁dt - длина столбика, м. Секундный массовый расход газа m_{1 cек} = ρ₁V₁F₁ - масса газа, прошедшего за одну секунду через сечение струйки I-I, кг/с, где ρ₁ - плотность газа, кг/м³; V₁F₁ - секундный объемный расход газа, м³/с. В соответствии с гипотезой неразрывности через сечение струйки II-II из трубки тока за одну секунду выйдет масса газа m_{2 cек} = ρ₂V₂F₂, равная массе газа m_{1 cек}, вошедшей в трубку тока через сечение I-I. Таким образом, секундный массовый расход газа через любое сечение струйки есть величина постоянная:

ρVF = const.

Это соотношение называется уравнением неразрывности или уравнением постоянства расхода. При движении самолета с малыми дозвуковыми скоростями V, соответствующими числам M £ 0,4 ¸0,6 (конкретное значение M=V/a зависит от формы обтекаемого тела), сжимаемость воздуха практически не проявляется, т. е. можно считать, что плотность воздуха постоянна (ρ = const). В этом случае для струйки ρ₁=ρ₂ и уравнение неразрывности примет вид

VF = const.

Отсюда следует, что для несжимаемого идеального газа скорость в струйке V тем больше, чем меньше площадь сечения струйки F, и наоборот.
Уравнение Бернулли является математическим описанием закона сохранения энергии для струйки идеального сжимаемого газа:

E₁ = E₂ = ... = const,

т. е. внутри трубки тока, когда нет обмена массой и энергией между струйкой и окружающей ее средой (соседними струйками), сумма всех видов энергии в любом сечении струйки постоянна.
Учитывая только кинетическую энергию и энергию силы давления в струйке, можно записать для любого сечения струйки:

E_i = E_к + E_p,

Кинетическая энергия характеризует способность движущегося газа производить работу:

Энергия силы давления характеризует способность газа производить работу силой давления, проталкивающей газ через сечение струйки:

E_p = PL,

Отсюда

С учетом этих выражений запишем уравнение Бернулли в виде

В соответствии с уравнением неразрывности массовый расход m_cекdt = сonst.
Для идеального несжимаемого газа ρ = сonst.
Поэтому для идеального несжимаемого газа уравнение Бернулли запишем в виде

Для идеального несжимаемого газа сумма скоростного напора и статического давления в струйке есть величина постоянная, т. е. с увеличением скорости V давление в струйке p падает, и наоборот.

Рис. 5.15. К построению математической модели картины обтекания

Знание основных законов аэродинамики позволяет построить математическую модель картины обтекания тела свободным потоком (без учета пограничного слоя) и определить значения аэродинамических сил, зависящих от распределения давления по поверхности тела. Если рассмотреть движение (рис. 5.15) частиц газа 1, 2, 3 в различных струйках потока, обтекающего тело, то, в силу гипотезы неразрывности, эти частицы в любой момент времени должны одновременно проходить различные сечения потока сечения (I-I, II-II, III-III). Частица 3 движется в струйке, на которой не сказывается присутствие в потоке тела, поэтому скорость ее в любом сечении V₃ и давление в струйке p₃ будут равны скорости V_¥ и давлению в струйке p_¥ невозмущенного потока. Частицы 1 и 2, движущиеся в искривленных струйках по криволинейным траекториям, должны преодолевать более длинный путь, чем частица 3, и, следовательно, двигаться с большими увеличение местными скоростями обтекания, т. е. V₁ > V_¥;V₂ > V_¥.
В соответствии с уравнением Бернулли увеличение местных скоростей обтекания приведет к снижению давления в струйке, т. е. p₁ < p_¥; p₂ < p_¥.
Зная форму обтекаемого тела, мы может рассчитать траектории движения частиц, определить изменения площади струек вдоль тела. По уравнению неразрывности вычислим местные скорости обтекания и по уравнению Бернулли - распределение давления по поверхности тела.
Расчетные методики, построенные на базе основных законов аэродинамики, позволяют достаточно точно описать картины обтекания тел, полученные в результате эксперимента. Очевидно, что для симметричного профиля, обтекаемого потоком воздуха под нулевым углом атаки, характер течения струй, их площади и местные скорости обтекания в i-х сечениях на верхней поверхности V_1i и на нижней поверхности V_2i будут одинаковы. В этом случае для параметров потока (V и p) в соответствии с уравнением Бернулли справедливы соотношения, представленные на рис. 5.16. При несимметричном обтекании на малых углах атаки на основании уравнения Бернулли получим соотношения, представленные на рис. 5.17.
Для каждого i-го сечения значения местных скоростей обтекания профиля V_i можно записать в виде

V_i=V_¥+ΔV_i,

Рис. 5.16. Соотношения, полученные из уравнения Бернулли при симметричном обтекании	Рис. 5.17. Соотношения, полученные из уравнения Бернулли при несимметричном обтекании

Распределение скоростей ΔV_i при несимметричном обтекании профиля (рис. 5.18) сходно с распределением скоростей при вихревом движении.

Рис. 5.18. "Вихревое движение" при обтекании профиля

Н.Е. Жуковский, разработавший в 1906 году теорию подъемной силы крыла, предложил моделировать крыло вихрем, при взаимодействии которого с плоскопараллельным набегающим потоком скорости их суммируются. На верхней поверхности вихря скорость частиц увеличивается (V_i=V_¥+ΔV_i), на нижней - уменьшается (V_i=V_¥ - ΔV_i,). Значение возникающей при этом подъемной силы зависит от интенсивности вихря, которая измеряется так называемой циркуляцией скоростиГ профиля крыла

Г = ΣΔV_ids,

где ds - элементарная длина соответствующего участка контура.
Н.Е. Жуковский вывел теоретическую формулу для определения подъемной силы для части длиной l крыла бесконечного размаха:

Y_a = ρV_¥ lГ,

Н.Е. Жуковский и С.А. Чаплыгин первыми теоретически установили связь между формой профиля, углом атаки и возникающей вокруг профиля циркуляцией.
Таким образом, простейшие математические модели, описывающие обтекание тела идеальным газом, позволяют нам рассчитать составляющую полной аэродинамической силы - силу давленияP_давл, возникающую в результате преобразования кинетической энергии потока (скоростного напора ρV²/2 ) в энергию давления (статическое давление p).
В инженерных аэродинамических расчетах принято выражать полную аэродинамическую силу R_aформулой

Полная аэродинамическая сила прямо пропорциональна кинетической энергии потока, которая при обтекании тела трансформируется в энергию трения в пограничном слое и в потенциальную энергию давления.

Рис. 5.19. Вихревая поверхность, моделирующая крыло

Этот фактор учитывается в формуле величиной ρV²/2. Влияние размеров обтекаемого тела учитывается характерной площадью S, причем в качестве характерной площади может быть принята либо площадь миделя фюзеляжа самолета, либо площадь крыла.Безразмерный коэффициент полной аэродинамической силыC_Ra определяется опытным путем в процессе аэродинамических экспериментов или теоретическими расчетами.

Коэффициент C_Ra учитывает влияние на величинуR_a формы обтекаемого тела, состояния его поверхности и положения обтекаемого тела относительно набегающего потока воздуха.
Современные расчетные методы, моделирующие крыло 1 (рис. 5.19) системой (до нескольких сотен) П-образныхвихрей 2, позволяют в результате решения на ЭВМ системы уравнений, описывающих взаимодействие вихрей, рассчитать циркуляцию и достаточно точно определить значения аэродинамических сил и их распределение по несущей поверхности.