ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПОПУЛЯЦИЙ

Выше мы обсудили несколько классических математических моделей в экологии. Известно и немало других, которые можно найти в книгах и в статьях научно-популярных журналов.

Использование математических моделей, основанных на дифференциальных уравнениях или их дискретных аналогах, далеко не единственный путь в компьютерном моделировании динамики популяций. Другую интересную группу составляют чисто стохастические модели или динамические модели с элементами стохастичности.Опишем две возможные модели такого класса.

Первая модель. Две популяции находятся в соотношении «хищник - жертва», описанном выше, но модель совершенно иная. На некотором клетчатом поле (которое наглядно - все или по частям - изображается на дисплее) находятся волки (несколько) и зайцы (много). Зайцы совершают беспорядочные перемещения, длины и направления которых - случайные величины, подчиняющиеся некоторому закону распределения вероятностей, а каждый волк в каждое мгновение ориентируется на ближайшего зайца и может совершать ограниченные прыжки. Если волк в течение некоторого, заранее определенного, промежутка времени остается без добычи (т.е. не попадает в клетку, где находится заяц), то он погибает. Зайцы и волки через определенные моменты размножаются, например, каждый второй заяц приносит двух потомков, каждый второй волк приносит одного потомка, причем скорость размножения волков в два раза ниже, чем зайцев. Все это может красочно изображаться на экране, состояние которого меняется через фиксированные моменты времени.

Это - чисто имитационное моделирование, конечной целью которого является, как и в описанных моделях, установление судьбы популяций в зависимости от многих факторов, входящих в модель. Здесь нет дифференциальных уравнений, но зато в полной мере проявляется стохастика, моделирование случайных процессов. Реализация такой модели требует большого программистского искусства, способствует формированию вероятностных представлений.

Возможны и пограничные - динамико-стохастические модели. Например, в уравнениях Лотки - Вольтерры один из параметров - случайная величина с известным законом распределения. Самостоятельные размышления над такими задачами, даже лишь над их постановкой, очень полезны.

Вторая модель, которую опишем во всех деталях, предложена Д.Конвейем -имитационная модель роста, распада и различных изменений в популяции живых организмов, известная под названием «Жизнь».

Рис. 7.48. К имитационной модели «Жизнь»

Для построения алгоритма игры рассмотрим квадратное поле из n+1 столбцов и строк с обычной нумерацией от 0 до n, рис. 7.48. Крайние граничные столбцы и строки для удобства определим как «мертвую зону», они играют лишь вспомогательную роль.

Для любой внутренней клетки поля с координатами (i, j) можно определить 8 соседей. Если клетка «живая», ее закрашиваем, если клетка «мертвая», она пустая.

Зададим правила игры. Если клетка (i, j) «живая» и в окружении более трех «живых» клеток, она погибает (от перенаселения). «Живая» клетка также погибает, если в окружении менее двух «живых» клеток (от одиночества). «Мертвая» клетка оживает, если вокруг нее имеются три «живые» клетки.

Для удобства введем двумерный массив А[0..п, 0..п], элементы которого принимают значение 0, если соответствующая клетка пустая, и 1, если клетка «живая». Тогда алгоритм определения состояния клетки с координатой (i,j) можно определить следующим образом:

S = A[I-1, J-1] + A[I-1, J] + A[I-1, J+1] + A[I+1, J-1]

+ А[I+1, J] + A[I+1, J+l] + A[I, J+l] + А[1, J-1];

If (A[I, J] = 1) And ((S > 3) Or (S < 2); Then B(I, J] = 0;

If (A[I, J] = 0) And (S = 3) Then B[I, J] = 1;

Здесь массив В [0..п, 0..п] определяет координаты поля на следующем этапе. Для всех внутренних клеток от i = 1 до n - 1 и j = 1 до n - 1 справедливо сказанное выше. Отметим, что последующие поколения определяются аналогично, лишь стоит осуществить процедуру переприсваивания

For I = 1 То N-l

For J = 1 To N-l

A[I, J] = B[I, J]

Next J,I

На экране дисплея удобнее выводить состояние поля не в матричном, а в графическом виде. Это вполне можно осуществить. Осталось лишь определить процедуру задания начальной конфигурации игрового поля. При случайном определении начального состояния клеток подходит алгоритм

For I = 1 То К

Kl = RND*(N-l): K2 = RND*(N-l): A[K1, K2] = 1

Next i

Интереснее случай, когда начальную конфигурацию мы задаем сами, и удобнее для пользователя делать это непосредственно в графическом виде.

Теперь приступим к моделированию. Поставим несколько вопросов:

какие конфигурации исчезают с течением времени и как быстро?

какие структуры могут существовать бесконечно?

каковы законы организации структур, их взаимодействия?

Перед попыткой ответить на эти вопросы читателю будет полезно поэкспериментировать самому. Предварительно отметим лишь некоторые структуры (рис. 7.49-7.50).

Рис. 7.49. Стационарные структуры, не зависящие от времени

Существуют структуры, которые повторяют себя через 1, 2, ...,п временных шагов, их называют циклами «-n» (см. рис. 7.50).

Рис. 7.50. Циклы «-2»

Но наиболее интересны движущиеся структуры - «планеры», «корабли», «паровозы», их столкновения, «аннигиляции» и зарождение новых структур.