Главные напряжения и главные площадки при кручении

Напряжения и деформации при кручении

На стержень круглого сечения нанесем продольные и поперечные линии и подвергнем его скручиванию. Длина и диаметр стержня (см. рис. 1) не изменяется, не изменится и расстояние между поперечными сечениями 1-1 и 2-2. Это говорит о том, что в поперечных и продольных сечениях отсутствуют нормальные напряжения. Углы между поперечными и продольными линиями перестают быть прямыми, т.е. наблюдается угловая деформация.

Рис. 1

Угловая деформация вызывается касательными напряжениями, определяемыми по формуле:

(1)

где Т - крутящий момент,

- расстояние от центра сечения до рассматриваемой точки,

- полярный момент инерции.

Из формулы (1) следует, что касательные напряжения прямо пропорциональны . Для точек, одинаково удаленных от центра, касательные напряжения одинаковы по величине. При =0 (центр сечения) t=0. Максимальные касательные напряжения будут при =r.

;

Заменим - полярным моментом сопротивления. Тогда:

2)

Для круга:

;

;

(3)

Угол закручивания, т.е. угол поворота одного поперечного сечения стержня относительно другого равен:

(4)

где l - длина стержня,

- модуль сдвига.

Главные напряжения и главные площадки при кручении

При кручении в поперечных сечениях бруса возникают только касательные напряжения. Согласно закону парности касательных напряжений в продольных сечениях будут возникать равные по величине и противоположные по знаку касательные напряжения. По граням элемента будут действовать только касательные напряжения (см. рис. 2).

Рис. 2

Положение одной из главных площадок находят по формуле:

.

В данном случае нормальные напряжения , тогда:

,

.

Вторая главная площадка перпендикулярна первой.

Главные напряжения находят по формуле:

.

Как известно: , поэтому:

.

При чистом сдвиге главные напряжения равны по величине и противоположны по знаку (одно растягивающее, второе сжимающее).

Характер действия напряжений при кручении подтверждается экспериментами. Чугунный образец (см. рис. 3, а) всегда разрушается под углом 45 . Разрушающими являются напряжения , т.е. образец разрушается от разрыва. Напряжение равно по величине , но хрупкие материалы сопротивляются сжатию значительно лучше, чем растяжению, поэтому не может привести к разрушению.

Стальной образец всегда разрушается по поперечному сечению (см. рис. 3, б). Разрушение вызывают касательные напряжения в поперечном сечении. Характер разрушения – сдвиг.

Деревянный образец всегда разрушается вдоль волокон (см. рис. 3, в). Поскольку касательные напряжения в поперечном и продольном сечении равны по величине (закон парности касательных напряжений), а сопротивление дерева сдвигу вдоль волокон (скалыванию) в 5...8 раз меньше, чем на перерезание волокон, то характер разрушения закономерен.

а) б) в)