Свойства монотонных последовательностей

Давайте повторим это определение, используя в большей степени русский язык. Предел числовой последовательности существует и равен некоторому числу, если, начиная с некоторого номера, все члены

Определение 1. Числовая последовательность (1) называется монотонной, если для каждого натурального выполнено одно из четырех условий: (2), (3), (4), (5). В случае выполнения условия (2) последовательность (1) называется монотонно возрастающей. В случае выполнения условия (3) последовательность (1) называется монотонно убывающей. В случае выполнения условия (4) последовательность (1) называется монотонно неубывающей. В случае выполнения условия (5) последовательность (1) называется монотонно невозрастающей.

Теорема 1. Монотонная и ограниченная числовая последовательность имеет предел.

Доказательство. Достаточно доказать, что монотонно неубывающая последовательность (1) имеет предел. В самом деле, во-первых, возрастающая последовательность является частным случаем неубывающей последовательности. Во-вторых, если поменять знаки последовательности, то она из убывающей превратится в возрастающую.

Итак, пусть для последовательности (1) выполнено условие (4) и последовательность (1) ограничена. Но ведь ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань, допустим – это число , для которого все . Докажем, что в таком случае . Будем действовать в соответствии с определением предела числовой последовательности. Пусть задано число , тогда число не является верхней гранью множества членов последовательности (1). Следовательно, существует номер такое что . Но тогда, в силу монотонности, при условии также . С учетом соотношения для этих членов числовой последовательности выполнено условие . А это и означает, что . Теорема доказана.

Бином Ньютона

Мы знаем, что , и т. д. Формула бинома Ньютона обобщает эти правила на случай произвольной степени.

Теорема 2. Справедлива формула бинома Ньютона , (6) где .

Доказательство. Теорема будет доказана методом математической индукции. Что такое метод математической индукции? Если утверждение надо доказать для всех натуральных значений параметра , то для этого достаточно доказать это утверждение для и затем доказать, что из справедливости утверждения для следует справедливость этого утверждения для .

Проверим справедливость формулы (6) при . Действительно, , т. к. (проверьте) .

Пусть формула (6) справедлива при , т. е. . Вычислим . Последнее произведение представляется в виде и при этом . С другой стороны, для проверки индуктивного предположения надо доказать, что . Следовательно, для завершения доказательства теоремы Ньютона надо установить справедливость соотношения . Действительно, . Теорема доказана.

Кстати, величина называется числом сочетаний из по и показывает, сколькими способами можно выбрать предметов из предметов.

Число e

Рассмотрим числовую последовательность , (7).

Теорема 3. Для членов числовой последовательности (7) справедливы соотношения: , .

Доказательство. Для величины применим формулу бинома Ньютона. Следовательно, и отсюда . Мы видим, что с ростом каждое слагаемое в последней записи и число слагаемых увеличиваются. Следовательно, . Для доказательства второй части теоремы заметим, что . Теорема доказана.

Итак, числовая последовательность (7) является монотонно возрастающей, ограниченной сверху последовательностью. Следовательно, она имеет предел. Этот предел является важной мировой константой, является трансцендентным числом и имеет специальное название.

Определение 2. Предел числовой последовательности (7) называется числом e.

Итак, по определению . (8)