ОПТИМИЗАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ ПО ОБОБЩЕННЫМ СКАЛЯРНЫМ КРИТЕРИЯМ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛАХ

В зависимости от формы функционала обобщенного скалярного критерия оптимальности возможны различные задачи оптимизации объекта по точности.

Оптимальная стабилизация режимов объекта. Задача синтеза оптимального регулятора состояния формулируется следующим образом. Задан объект оптимизации, динамика которого определяется дифференциальными уравнениями состояния, и известны начальное и конечное значения векторов состояния:

(6.1)

задан также квадратичный функционал в скалярной или векторной форме:

(6.2)

, (6.3)

где Q – диагональная матрица весовых коэффициентов q_ii > 0, q_ij = 0 для i ≠ j; R – диагональная матрица весовых коэффициентов r_l > 0. Требуется определить оптимальное управление u°(X), при котором функционал (6.3) имеет минимальную величину. Краевые условия в данном случае имеют вид

X (0) = Х_о; X (¥) = 0,

где Х_о – произвольный заданный вектор.

Функционал (6.3) является обобщенным скалярным критерием, полученным в результате объединения обобщенной квадратичной интегральной оценки, используемой в теории автоматического управления для косвенной оценки качества переходных процессов, и критерия типа (1.8), характеризующего расход энергии при управлении.

Весовые коэффициенты q_ii > 0 и r_l > 0 накладывают «штрафы» на величину и длительность отклонения координат в переходном процессе. Положительность этих коэффициентов обеспечивает положительную определенность подынтегральной функции, что исключает возможность больших и длительных отклонений координат состояния и управлений при оптимальном переходном процессе.

Для сложных многомерных объектов, кроме функционала (6.3) скалярного критерия, можно рассматривать также другие функционалы при векторных критериях.

Оптимальная стабилизация выхода объекта.Задача синтеза оптимального регулятора выхода формулируется следующим образом. Задан объект оптимизации, уравнения состояния которого имеют вид

= АX + Bu; Y = С X, (6.4)

и краевые условия: X (0) = Х_о; Y (0) = Y_o; X (¥) = Y (¥) = 0; задан также квадратичный функционал обобщенного скалярного критерия оптимальности

(6.5a)

Для одномерного объекта у(t) = х₁(t) и и(t) – скалярные величины, поэтому Q = q₁; R = r₁ и вместо (6.5) можно записать обобщенный функционал типа (1.2)

(6.5 б)

Требуется определить оптимальное управление u⁰(X), при котором функционал (6.5а) имеет минимальную величину. Если подставить в (6.5а) вместо вектора выхода Y его выражение через вектор X из (6.4), то вместо (6.5а) получим

(6.6)

Для положительно полуопределенной матрицы C^TQCфункционал (6.6) при полностью наблюдаемом объекте подобен (6.3) и задача стабилизации выхода сводится к задаче стабилизации режима работы. При решении ее получим оптимальное управление u⁰(X), обеспечивающее малые отклонения координат векторов состояния X, выходных переменных Y. Если матрица C^TQCтакова, что в подынтегральное выражение функционала (6.6) входят не все координаты состояния x_i[см., например, (6.5а) для одномерного объекта], то оптимальное управление u°(X) не исключает возможность больших отклонений некоторых координат состояния.

Для одномерного объекта оптимальное управление и°(X), обеспечивающее минимум функционала (6.5а), исключает возможность больших отклонений координаты выхода у(t) = x₁(t).

Оптимальное управление объектом по произвольному закону.Задача оптимального слежения формулируется следующим образом. Задан объект оптимизации, уравнения состояния которого имеют вид уравнений (6.4), вектор выхода Y_з(i), а также квадратичный функционал обобщенного скалярного критерия оптимальности

(6.7)

где вектор ошибки

DY(t)=Y_з(t) - Y(t). (6.8)

Требуется определить оптимальное управление, обеспечивающее достаточно близкое совпадение вектора Y(t)с заданным Y_з(t), при котором функционал (6.7) будет иметь минимальную величину.

Учитывая (6.4) и (6.8), функционал (6.7) запишем в виде

(6.9)

Так как функционал (6.9) содержит вектор заданного процесса на выходе Y_з(t), то текущее значение оптимального управления зависит от будущих значений заданного выхода. Реализация такого оптимального управления возможна только в том случае, если заранее известен заданный процесс Y_з(t). Например, при Y_з = const управление является релейным (см. § 6.4, пример 6.5).

Однако в некоторых случаях можно указать необходимые условия для вектора Y_з(t), выполнение которых позволит свести задачу оптимального управления объектом (задачу слежения) к задаче стабилизации выхода). Рассмотрим эти условия для одномерного объекта, уравнение которого не имеет производных от u:

(6.10)

Для заданного выхода, определяемого сигналом на входе системы х_вх(t), ошибка

(6.11)

Задача синтеза оптимального управления объектом и^o(X) в этом случае формулируется следующим образом.

Требуется определить оптимальное управление и^o(X) объектом, описываемым уравнением типа (6.10), из условия минимума обобщенного функционала типа (1.21):

(6.12)

Если функция х_вх(t)дифференцируема п раз и удовлетворяет условию

(6.13)

то после дифференцирования (6.11) п раз с учетом (6.10) и (6.13) получим

(6.14)

Уравнение (6.14) можно использовать в качестве математической модели условного объекта оптимизации, выходом которого является ошибка e(t), а входом функция u₁(t) = –u(t).

Таким образом, задача оптимального управления одномерным объектом по заданному закону х_вх(t), удовлетворяющему необходимому условию (6.13), состоит в оптимальном управлении выходом у(t). При этом закон управления u^o(X) обеспечивает оптимальное управление объектом только при таких заданных сигналах на входе x_вx(t), которые удовлетворяют уравнению (6.13).

Для аналитического решения задачи синтеза оптимальной по точности системы можно применить методы классического вариационного исчисления, динамического программирования, принцип максимума и др. (см. гл. 3).

В тех случаях, когда заданное значение выхода Y_з= x_вx = const, вместо функционала (6.12) можно использовать линейную интеграль­ную оценку для ошибки (6.11) и наложить ограничение на управление и £ U_max. Тогда задачу синтеза оптимального управления и⁰(t) можно сформулировать как задачу математического программирования см. §6.4).