Изоморфизм групп. Порядок элемента в группе.

Определение 14.1. Пусть и – группы. Биективное отображение , при котором для любых выполняется соотношение

называется изоморфизмом групп и обозначается .

Лемма 14.1. Бинарное отношение изоморфизма групп есть отношение эквивалентности на множестве всех групп.

Доказательство. Простое упражнение.

Свойства изоморфизма групп.

Пусть группы в определении 14.1 мультипликативны и изоморфны с изоморфизмом . Тогда

1.

2. ;

3. ;

4 Изоморфный образ группы (подгруппы) есть группа (подгруппа).

Докажем, например, свойство 2 . Имеем

.

В дальнейшем будут указаны и другие свойства изоморфизма. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 14.1. Если в примере 1.31 с треугольником из первой главы вершины перенумеровать номерами , то отображения из множества Ф превращаются в подстановки степени три, а именно:

Эти подстановки составляют группу с такой же таблицей Кэли, что и для Ф . Нетрудно понять, что здесь представлено изоморфное описание группы симметрий правильного треугольника.

Пример 14.2. Группа симметрий прямоугольника изоморфна мультипликативной группе классов вычетов по , взаимно простых с модулем, что тоже легко усмотреть из соответствующих таблиц Кэли.

Пример 14.3. Легко увидеть, что . Здесь отображение есть ни что иное, как . Действительно, для любых , притом, что отображение , очевидно, является биективным.

Пример 14.4. Группа вращений правильного треугольника вокруг его центра, представленная множеством Ф, изоморфна группе корней третьей степени из единицы.

Для конечных групп справедлива следующая теорема.

Теорема 14.1 (Кэли).

Каждая конечная группа порядка изоморфна некоторой подгруппе группы .

Доказательство. Пусть задана мультипликативная группа . Рассмотрим множество , где , а – любое фиксированное, . Очевидно, что . Ибо элементы попарно различны и их ровно . Построим отображение по правилу . Ясно, что такое отображение является биекцией. Рассмотрим теперь множество таких отображений . Определим на множестве бинарную алгебраическую операцию. Именно: . Относительно этой операции множество образует группу порядка . Действительно, операция ассоциативна, ибо

Роль единицы играет тождественное отображение , так как выполняется равенство . Наконец, для каждого отображения существует обратное отображение . Действительно, например, .

Зададим теперь отображение по правилу , . Очевидно, что это биекция. Проверим выполнимость условия согласования операций. Имеем

.

Так что отображение есть изоморфизм между и . Но легко интерпретировать как группу (тоже через изоморфизм):

,

здесь отвечает элементу , . Теорема доказана.

Таким образом, все конечные группы из указанных выше примеров можно отыскать в соответствующей симметрической группе. А, учитывая результат леммы 14.1, можно говорить о разбиении всех групп на попарно непересекающиеся классы изоморфных между собой, что приводит к возможности изучения групп «с точностью до изоморфизма».

Определение 14.2. Пусть – группа и . Наименьшее натуральное число такое, что – в аддитивной записи), если оно существует, называется порядком элемента . В противном случае элемент называют элементом бесконечного порядка. Обозначать будем .

Если речь идет об элементах конечного порядка, сформулируем несколько свойств порядка элементов группы. Именно:

1.

2.

3.

4. если , то элементы попарно различны;

5. если , то ;

6. если , , , , то ;

7. если , , и , то ;

8. если – изоморфизм, то ;

9. если , то .

Легко видеть, что понятие показателя по заданному модулю в группе есть частный случай порядка элемента этой группы. Поэтому доказательства части свойств показателя можно перенести на общий случай, правда, учитывая возможную некоммутативность групповой операции.

Докажем, например, свойство 7 . Пусть . Во-первых, легко устанавливаем, что число может служить порядком элемента , ибо

.

Во-вторых, имеем

.

Здесь воспользовались перестановочностью элементов и . Условие означает, множества, порождаемые степенями элементов и пересекаются лишь по единичному элементу, т.е., . Тогда получим, что , откуда находим, что , т.е., и , а значит, . А тогда . Учитывая определение порядка, получаем, что .

Доказательство остальных свойств оставим студентам.

Рассмотрим несколько примеров вычисления порядков элементов.

Пример 14.5. Для группы получаем:

.

Пример 14.6. Для группы имеем:

.

Ясно, что в конечных группах все элементы имеют конечный порядок, и эти порядки могут быть велики. Остановимся специально на случае группы . но сначала несколько определений.

Определение 14.3. Подстановку называют циклической или циклом, если множество реально перемещаемых символов в ней можно расположить один за другим так, что каждый из них переходит в следующий за ним, а последний переходит в первый.

Пример 14.7. . Возможна запись .

Определение 14.4. Количество реально перемещаемых символов в цикле называется его длиной.

В последнем примере длина цикла равна четырем, если отбросить циклы единичной длины. Нетрудно заметить, что справедлива следующая

Лемма 14.2. Порядок циклической подстановки равен ее длине.

Доказательство тривиальное.

А также справедлива

Лемма 14.3. Каждую подстановку можно разложить в произведение независимых циклов (т.е. множества реально перемещаемых символов которых попарно не пересекаются).

Доказательство тривиальное.

Учитывая последний результат, можно сформулировать теорему:

Теорема 14.2 (о порядке подстановки) .

Порядок подстановки равен наименьшему общему кратному длин независимых циклов, на которые она разлагается.

Доказательство. Если подстановку разложить в произведение независимых циклов, то, учитывая лемму 14.2 и свойство порядка 7 , сразу получаем результат теоремы.

Пример 14.8. Пусть задана подстановка

Найдем ее порядок, разложив на независимые циклы.

.

Тогда .

Задача. 14.1. Построить подстановку наибольшего порядка степени 16.

Циклические группы.

Понятие циклической группы появилось в первой главе (см. опр. 1.24). Его появление было обусловлено необходимостью описания группы корней -й степени из единицы. Здесь будут даны некоторые дополнительные сведения. Тем не менее, повторим определение.

Определение 14.5. Группа , в которой существует элемент такой, что для любого существует целое , что , называется циклической. При этом элемент называется образующим элементом группы (в аддитивной записи ).

Введем обозначение: через обозначаем циклические группы порядка .

Пример 14.9 . Это бесконечная группа, где образующими элементами служат числа 1 и -1.

Пример 14.10. . Конечная группа порядка корней -ой степени из единицы. Образующими элементами в ней служат первообразные корни -ой степени.

Пример 14.11. . Циклическая группа третьего порядка, которую можно изоморфно представить в виде

Циклические группы достаточно просто устроены, поэтому их описание несложно получить. Рассмотрим некоторые свойства циклических групп.

Теорема 14.3.

Конечные циклические группы одного порядка изоморфны между собой. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой.

Доказательство. Для доказательства конечного случая воспользуемся примером 14.10. Пусть . Построим отображение по правилу . Такое отображение, очевидно, является биекцией. Но при этом операции в группах согласованы. Именно:

.

Для доказательства в бесконечном случае возьмем группу . Пусть – бесконечная циклическая группа с порождающим элементом , т.е., . Построим отображение по правилу . Вновь видим, что отображение является биекцией. И

.

Так что в обоих случаях существует изоморфизм. Теорема доказана.

Эта теорема, в частности, говорит о том, что в качестве образца бесконечной циклической группы всегда можно взять группу , а качестве представителя циклической группы порядка – .

Рассмотрим свойства конечных циклических групп.

Лемма 14.4. Пусть . Тогда . Обратно, элемент порядка порождает циклическую группу порядка .

Доказательство. Действительно, в соответствии с теоремой 1.6 из первой главы . Тогда , ибо если , где , то и, следовательно, не порождает всю группу из элементов, так как . Вторая часть леммы тривиальна.

Лемма 14.5. Пусть . Тогда .

Доказательство. Во-первых, число может быть порядком элемента . Ибо если , то и , при этом Тогда . Поэтому

.

Во-вторых, если , то , откуда в силу свойства 5 порядка элемента ,

значит, . И тогда , но . Поэтому , т.е., , а значит . Лемма доказана.

Лемма 14.6. Пусть . Тогда для любого существует единственная подгруппа в , порядок которой равен .

Доказательство. Пусть , откуда . Тогда группу можно представить как порожденную элементом , т.е., , так как . Пусть теперь , где . Отсюда находим, что , а тогда по свойству 5 порядка , т.е., , например, . Тогда для произвольного элемента имеем

,

значит, и тогда . Лемма доказана.

Лемма 14.7. Пусть и . Тогда в существует ровно элементов порядка . Значит, в группе имеется образующих элементов.

Доказательство. Пусть . Элемент группы должен иметь порядок при . Таким образом, должно быть . Итак,

.

Значит, , т.е., , откуда должно делиться на . Следовательно, , где . И, наконец, сокращая на , получаем, что . Это означает, что подходят только те показатели , для которых и . Но таких, по определению функции Эйлера, как раз . Вторая часть леммы есть следствие первой.

Полученные несложные результаты говорят о тесной связи понятий порядка элемента и циклической группы. В любой группе элемент конечного или бесконечного порядка порождает соответственно конечную циклическую группу заданного порядка или бесконечную циклическую группу.

Смежные классы. Теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппа.

Определение 14.6.Пусть – группа, – подгруппа в и – произвольный элемент. Тогда левым смежным классом группы по подгруппе , порожденным элементом , называется множество . Аналогично определяется соответствующий правый смежный класс .

Лемма 14.8. Элемент принадлежит классу тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Тривиальное.

Лемма 14.9. Бинарное отношение на множестве , определяемое соотношением есть отношение эквивалентности.

Доказательство. Рефлексивность и симметричность практически очевидны. Докажем транзитивность отношения. Пусть и , тогда . Таким образом, для некоторого , а для некоторого . Делая подстановку, получаем

для .

Но это и означает, что .

Легко видеть, что левые смежные классы по есть те попарно непересекающиеся классы, на которые разбивается множество данным отношением эквивалентности.

Лемма 14.10. Смежные классы группы по подгруппе равномощны.

Доказательство. Это легко усматривается из естественной биекции , где . Здесь – тоже смежный класс, порождаемый единицей группы.

Теорема 14.4.

Множества левых и правых смежных классов по данной подгруппе равномощны.

Доказательство. Следует из того, что и . Здесь – совокупность элементов группы, обратных элементам данного класса. Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между множествами левых и правых смежных классов группы по подгруппе .

Определение 14.7. Кардинальное число левых (правых) смежных классов группы по подгруппе называется индексом группы по подгруппе и обозначается .

Таким образом, фактормножество имеет мощность . В случае, когда группа конечна, индекс любой ее подгруппы конечен, и имеет место следующая

Теорема 14.5 (Лагранжа).

Если – конечная группа, то для любой ее подгруппы справедливо соотношение .

Доказательство. Так как классы равномощны и попарно не пересекаются, то число элементов группы равно числу элементов одного класса , умноженное на количество классов.

Следствие 1. Порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы.

Доказательство. Элементы конечного порядка порождают конечные циклические подгруппы.

Следствие 2. Конечная группа простого порядка – циклична.

Доказательство. Любой неединичный элемент такой группы порождает циклическую подгруппу, порядок которой должен делить порядок группы. А последний есть простое число. Следовательно, порядок подгруппы совпадает с порядком группы.

Следствие 3. В конечной группе простого порядка все неединичные элементы являются образующими.

Доказательство. Тривиально.

Пример 14.12. , . Очевидно, что классами смежности здесь служат классы вычетов по модулю 5. Именно: . Значит, = 5.

Пример 14.13. , для . Ясно, что число должно быть четным, например, . Тогда получим в соответствии с теоремой Лагранжа классов вида , где .

Пример 14.14. , . Здесь, как легко видеть, будет всего два класса, причем класс, отличный от подгруппы , составляют отображения, описывающие осевые симметрии . Например,

.

Пример 14.15. . Учитывая лемму 14.8, легко находим, что классы смежности образуют матрицы из , имеющие одинаковые определители.

Пример 14.16. . В этом случае класс составляют многочлены с одинаковыми свободными членами.

Определение 14.8. Подгруппа группы называется нормальной, или инвариантной, или нормальным делителем, если для любого элемента выполнено . Обозначение: .

Ясно, что это понятие приобретает смысл для неабелевых групп. Отметим два критерия нормальности.

Теорема 14.6.

Подгруппа группы является нормальной тогда и только тогда, когда для любого .

Доказательство. Тривиально.

Следствие. Любая подгруппа индекса 2 нормальна.

Теорема 14.7.

Подгруппа группы является нормальной тогда и только тогда, когда для любого .

Доказательство. Необходимость очевидна.

Достаточность. Если и , то

,

откуда и, аналогично, .

Пример 14.17. Подгруппа нормальна в , что легко проверяется при помощи второго критерия, учитывая теорему об умножении определителей.

Пример 14.18. Знакопеременная группа четных подстановок степени нормальна в симметрической группе как подгруппа индекса 2.

Пример 14.19. Аналогично можно утверждать, что Ф нормальна в .

Определение 14.9. Пусть – нормальная подгруппа в . На фактормножестве определим операцию умножения (сложения в аддитивном случае) классов соотношением:

( ).

Это определение задает на бинарную алгебраическую операцию. Нормальность определяет корректность операции, т.е., независимость результата от выбора представителя класса. Действительно, пусть и . Тогда , а для некоторых . Имеем

.

Таким образом, . Значит,

.

Лемма 14.11. Фактормножество относительно операции умножения (сложения) классов образует группу, называемую факторгруппой группы по подгруппе .

Доказательство. Следует проверить выполнимость аксиом. Во-первых, операция ассоциативна. Действительно, для любых имеем

Нейтральным элементом является класс , что моментально проверяется. А для каждого обратным будет класс , ибо

,

.

Лемма доказана.

Пример 14.20. Пусть задана группа , . В этом примере множество есть группа классов вычетов по модулю 5 относительно операции сложения по

модулю 5, т.е. .

Пример 14.21. Пусть задана группа и подгруппа в ней . Два вещественных числа попадают в один класс тогда и только тогда, когда имеют одинаковую дробную часть. Таким образом, сложение классов происходит по правилу:

, где означает дробную часть с.

Пример 14.22. Пусть . Классы обсуждались в примере 14.15, а нормальность подгруппы в примере 14.17. Результат умножения классов есть класс, содержащий матрицы, определитель которых равен произведению определителей матриц, входящих в классы-сомножители.

В примере 14.20 порядок факторгруппы равен 5, а в следующих примерах имеем факторгруппы бесконечного порядка.

Лемма 14.12. Факторгруппа циклической группы по любой ее подгруппе сама циклична.

Доказательство. Самостоятельно.

Гомоморфизм групп

Определение 14.10. Пусть и – группы (используем мультипликативную запись). Тогда отображение называется гомоморфизмом групп, если для любых .

Легко видеть, что взаимно однозначный гомоморфизм есть изоморфизм групп. Отметим некоторые свойства гомоморфизма.

1. ;

2. ;

3. Гомоморфный образ группы есть группа.

Докажем последнее утверждение. Воспользуемся критерием подгруппы (см. т. 1.5). Пусть – гомоморфизм и . Тогда для любых имеем для некоторых таких, что и , что

.

Как следует из первого свойства, гомоморфный образ единицы есть единица. Но возможно существуют и другие элементы, отображающиеся в единицу. Отсюда

Определение 14.11. .Гомоморфный образ единицы группы при гомоморфизме называется ядром гомоморфизма и обозначается .

Лемма 14.13. Пусть – гомоморфизм. Тогда подгруппа в .

Доказательство. По критерию подгруппы (т. 1.5) для любых должно выполняться включение . Действительно,

.

Следовательно, и подгруппа в . Лемма доказана.

Теорема 14.8 (первая теорема о гомоморфизмах групп).

Пусть – гомоморфизм групп и . Тогда и два элемента из имеют один и тот же образ в тогда и только тогда, когда лежат в одном классе смежности по подгруппе .

Доказательство. По лемме 14.13 – подгруппа в . Для доказательства нормальности воспользуемся теоремой 14.7. Имеем для произвольных и :

.

Значит, . И тогда , т.е., .

Вторая часть теоремы. Достаточность. Пусть , тогда для некоторого . Отсюда находим, что

.

Необходимость. Если , то . Тогда отсюда получим, что , а значит, . А тогда указанные элементы лежат в одном классе по подгруппе по лемме 14.8. Теорема доказана.

Теорема 14.9 (вторая теорема о гомоморфизмах групп).

Пусть – группа, , . Тогда существует гомоморфизм на с ядром . Его называют естественным.

Доказательство. Построим отображение по правилу: для любого . Проверим условие согласования операций. Для любых

.

Значит, – гомоморфизм. Так как есть единица в , то совокупность элементов , отображаемых в должна совпадать с классом , ибо , т.е., . Откуда ясно, что . Теорема доказана.

Теорема 14.10 (третья теорема о гомоморфизмах групп).

Если – гомоморфизм и , то группы и – изоморфны.

Доказательство. Построим отображение по следующему правилу: для любого класса . Так как элементы группы , имеющие общий образ в , лежат в одном классе смежности по ядру , то отображение инъективно. Оно же очевидно и сюръективно. Остается проверить условие согласования операций. Именно: для любых имеем

.

Теорема доказана. Теоремы 14.9 и 14.10 можно проиллюстрировать такой диаграммой:

Итак, подытоживая, можно сказать, что ядро любого гомоморфизма есть нормальная подгруппа, а любая нормальная подгруппа является ядром некоторого гомоморфизма, образ которого изоморфен факторгруппе данной группы по нормальному делителю.