Решение матричной игры в чистых стратегиях

Математиком А. Вальдом был сформулирован принцип суть которого состоит в том, что при принятии решения в условиях неопределенности разумно исходить из того, что сложится наименее благоприятная ситуация. Исходя из этого принципа игрок 1 может рассуждать следующим образом:

«Предположим, что я выберу -ю стратегию, тогда в худшем для меня случае я получу выигрыш величиной

где -количество строк в матрице игры, т.е. количество чистых стратегий 2-го игрока. Тогда я должен выбрать такую строку, т.е. -ю стратегию ( - количество столбцов в матрице игры), при которой этот минимум максимальный».

Определение.Число называется нижней ценой игры или максимином, а соответствующая ему стратегия (строка) - максиминной.

Аналогично, второй игрок, также исходя из наихудшего исхода, должен рассуждать следующим образом:

«Предположим, что я выберу -ю стратегию, тогда в худшем для меня случае я потеряю величину

Тогда я должен выбрать такой столбец, т.е. -ю стратегию, при которой этот максимум минимальный»

ОпределениеЧисло называется верхней ценой игры или минимаксом, а соответствующая ему стратегия игрока (столбец) - минимаксной.

ТеоремаНижняя цена игры не превосходит верхней цены игры.

Если для некоторой игры верхняя и нижняя цены равны, т.е. выполняется , или что то же самое

где - соответствующий элемент матрицы игры, то очевидно для этого элемента выполняется неравенство

Сравнивая это неравенство с (3) видим, что оказывается ситуация является равновесной, т.е. оптимальной, т.е. решением игры. Величина при этом, очевидно, является ценой игры, т.е. рассматриваемые принципы максимина и минимакса приводят к оптимальному и равновесному состоянию. Это еще раз свидетельствует об обоснованности их использования при принятии решений.

ОпределениеИгра, для которой называется игрой с седловой точкой.

Пример 2Для игровой матрицы из примера 4.1 найти седловые точки, если они есть. Нахождение нижней и верхней цен игры, равно как и проверка существования седловых точек и их нахождение, для матричных игр удобно проводить по следующей схеме

Видно, что максимин имеет место в 1-й строке, т.е. при первой стратегии 1-го игрока. Минимакс - в первом столбце, т.е. при 1-й стратегии 2-го игрока. При этом они совпадают, т.е. имеется седловая точка. Это ситуация