ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 4 страница

Теорема 9.14.

Пусть – комплексное линейное пространство, , . Тогда в Х существует -мерное инвариантное подпространство оператора А.

Доказательство. В соответствии с предыдущими рассуждениями оператор в ненулевом комплексном пространстве имеет, по крайней мере, один собственный вектор х. Так что и, значит, , т.е., . Это означает, что вектор х принадлежит ядру оператора , а это в свою очередь означает (так как ), что оператор вырожденный. Значит, . Пусть будет любое подпространство в Х размерности , включающее в себя . Покажем, что – искомое подпространство. Действительно, для любого вектора имеем . Таким образом, является инвариантным подпространством для . А по лемме 9.14 оно же будет инвариантным и для оператора А. Теорема доказана.

Лемма 9.17.

Пусть – комплексное линейное пространство, , .Тогдасуществуют инвариантные относительно оператора подпространства , , такие, что справедливы включения

.

Доказательство. Существование подпространства доказано в предыдущей теореме. В силу его инвариантности можно рассмотреть индуцированный оператор на , порожденный оператором А. Оператор будет действовать в комплексном линейном пространстве и поэтому к нему можно применить теорему 9.14. Что дает возможность говорить о подпространстве размерности , т.е., о . Очевидно, что . Затем следует рассмотреть индуцированный оператор на и вновь применить теорему 9.14. В итоге получим требуемое. Лемма доказана.

Теорема 9.15 (о треугольной форме матрицы оператора).

Для каждого линейного оператора, действующего в комплексном пространстве, существует базис, в котором его матрица треугольна.

Доказательство. Пусть – комплексное линейное пространство, , . Применим предыдущую лемму и выберем базис в Х следующим образом: в качестве вектора возьмем любой ненулевой вектор из . В качестве вектора возьмем любой вектор . Далее, . И так продолжаем далее. В конце выбираем вектор из . Полученная система линейно независима, ибо и ни один из последующих векторов не выражается линейно через предыдущие. Построим соотношения типа (9.2). В силу инвариантности подпространств , , получаем

Это дает соответствующую матрицу :

.

Следствие. Диагональные элементы матрицы суть собственные значения оператора.

Доказательство. Действительно, характеристический многочлен оператора будет иметь вид:

.

Учитывая, что корни комплексного многочлена в данном случае являются собственными значениями оператора, то следствие можно считать доказанным.

Разложение комплексного пространства в прямую сумму инвариантных подпространств

Продолжим рассматривать леммы об операторном многочлене.

Лемма 9.18. Пусть . Тогда имеют место включения:

.

Доказательство этой леммы очевидное.

Лемма 9.19. Пусть для некоторого . Тогда для любого .

Доказательство. Пусть . Тогда . Следовательно, . Значит, . Тогда по лемме 9.18 . Применяя это рассуждение раз, получим требуемое.

Определение 9.22. Наименьшее натуральное такое, что назовем порогом стабилизации ядер степеней оператора .

Лемма 9.20 (о разложении пространства в прямую сумму инвариантных подпространств).

Пусть комплексное линейное пространство и . Тогда для любого операторного многочлена справедливо разложение

,

где – порог стабилизации ядер степеней .

Доказательство. В данном случае достаточно доказать, что сумма является прямой. Действительно, применим следствие 1 к теореме 5.8. Пусть . Тогда существует ненулевой вектор такой, что и , т.е., имеется вектор , что . Но тогда . Это означает, что , но отсюда . Противоречие доказывает, что сумма на самом деле прямая. Лемма доказана.

В некотором смысле получен результат о разложении пространства в прямую сумму инвариантных подпространств, что анонсировалось ранее. Теперь предстоит развить этот результат. Как выяснится, такое развитие окажется весьма значительным. Но пока еще одна важная лемма.

Лемма 9.21. Пусть – произвольное инвариантное подпространство оператора . Если все собственные значения оператора, индуцированного на ,являются корнями многочлена , то для всех достаточно больших .

Доказательство. Обозначим через области значений операторов, индуцированных на с помощью операторных многочленов . Оператор является вырожденным на , ибо в его ядро входят собственные векторы, отвечающие собственным значениям, которые лежат среди корней (см. л. 9.16). Это собственные векторы, принадлежащие . Поэтому , т.е., . Если , то это нетривиальное инвариантное подпространство для и значит для . Характеристический многочлен оператора, индуцированного на оператором , делит характеристический многочлен оператора . Значит, все собственные значения этого оператора на являются корнями . Но тогда ядро ненулевое и, значит, , а . Продолжая этот процесс, видим, что размерности не могут убывать бесконечно. Начиная с какого-то номера эти подпространства станут нулевыми, а это и означает, что . Лемма доказана.

Исходя из леммы 9.16 и понятия порога стабилизации для степеней операторного многочлена можно заключить, что все собственные векторы оператора находятся либо в , либо в . При этом в первом находятся те, что отвечают собственным значениям, являющимся корнями , а во втором те, что отвечают собственным значениям, ни одно из которых не является корнем . И так как каждому собственному вектору отвечает какое-либо собственное значение, то это означает, что каждый из корней характеристического многочлена оператора, индуцированного на ( ), являются (не являются) корнями . Окончательно получаем результат, решающий вопрос распределения собственных векторов оператора, в виде следующей теоремы:

Теорема 9.16. Пусть – комплексное линейное пространство и , – характеристический многочлен оператора , и , где и не имеют общих корней (т.е., ). Тогда пространство Х разлагается в прямую сумму инвариантных относительно А подпространств

таких, что оператор, индуцированный на оператором А, имеет характеристический многочлен , а индуцированный на М имеет характеристический многочлен . При этом указанное разложение единственно.

Доказательство. Существование. Лемма 9.20 дает вариант разложения в прямую сумму инвариантных относительно оператора А подпространств, где в качестве операторного многочлена можно взять . Покажем, что полученное разложение является искомым. Действительно, пусть , а и – являются соответственно характеристическими многочленами и . Тогда понятно, что в силу прямоты суммы и

,

Следовательно, имеем равенство

.

В силу свойств взаимно простых многочленов и взаимно делят друг друга, т.е., совпадают, а тогда совпадают и с . Таким образом, существование разложения доказано.

Единственность. Пусть существует еще одно разложение указанного типа, скажем,

.

Так как разложение проводилось с использованием операторного многочлена , то подпространство по лемме 9.21 входит в подпространство , т.е., , ибо

.

Оператор является невырожденным на . Действительно, если бы , то тогда является нетривиальным инвариантным подпространством оператора А. В нем существует собственный вектор этого оператора. Тогда . И по лемме 9.15 получаем , что . Но так как – это вектор из ядра, то

,

откуда

.

Это противоречит тому, что . В силу невырожденности на получаем (с сохранением обозначений леммы 9.21) , что для всех . Значит, . И тогда в условиях равенства

получаем, что . Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть характеристический многочлен оператора А представлен в виде канонического разложения над полем С, именно:

,

где , попарно различные корни , а . Тогда, так как многочлены , попарно взаимно просты, то пространство Х можно разложить в прямую сумму инвариантных относительно оператора А подпространств следующим образом:

,

где подпространства , имеют характеристические многочлены вида и называются корневыми подпространствами, а их векторы – корневыми векторами, .

Доказательство. Сначала применяется теорема с и выделяется первое слагаемое – . Затем к оставшейся части применяется теорема уже с и выделяется слагаемое . И т.д.

Следствие 2. Корневое подпространство по построению можно представить в виде

, .

Но заведомо можно обойтись без показателя . Таким образом,

, .

Доказательство. Если рассматривать ядра операторов , , то размерности таких ядер будут расти по крайней мере на единицу до тех пор, пока не наступит стабилизация и размерность не станет равной . Поэтому , что и доказывает утверждение.

Следствие 3. Матричная интерпретация полученного результата состоит в том, что в базисе, составленном из базисов подпространств-слагаемых, матрица оператора А приобретает клеточно-диагональный вид:

, (9.11)

где клетки являются матрицами индуцированных операторов на корневых подпространствах .

Теорема 9.17 (Гамильтона-Кэли).

Если есть характеристический многочлен оператора А, то тогда , т.е., оператор является «корнем» своего характеристического многочлена.

Доказательство. Рассмотрим произвольный вектор суммы

,

, .

Подействуем оператором на вектор . Имеем

.

Здесь используется коммутативность кольца операторных многочленов и определение корневого подпространства , как ядра оператора , . Так что . Теорема доказана.

Канонический корневой базис

Вернемся к идее упрощения матрицы линейного оператора. Как было показано, в комплексном случае можно всегда получить клеточно-диагональную матрицу как следствие разбиения пространства в прямую сумму корневых подпространств. При этом заметим, что каждую клетку дополнительно можно сделать треугольной. Дальнейшее упрощение, а оно возможно, требует более изощренного построения базиса. Так как речь пойдет об отдельных клетках в (9.11), то можно считать, что события происходят в некотором корневом подпространстве . Векторы этого пространства отображаются в нуль оператором , но может случиться, что при некоторая меньшая степень оператора отображает какие-то векторы в нуль. Например, такими заведомо будут собственные векторы.

Определение 9.23. Пусть , тогда наименьшее целое неотрицательное число называется высотой корневого вектора , если .