ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 2 страница

Пусть дополнительно задан и базис пространства – . Разложим образы базисных векторов пространства Х по базису пространства . Получим

(9.2)

или сокращенно

Матрица , составленная из коэффициентов разложения образов базисных векторов пространства по базису пространства называется матрицей линейного оператора в базисах и .

Очевидно, что матрица однозначно определяется базисами и . В другой паре базисов она, вообще говоря, должна быть другой. Этот вопрос детально рассмотрим позже. А пока вернемся к вектору . Его образом был некоторый вектор . Снова вернемся к равенству . Это так называемое операторное равенство. Вновь учтем, что и воспользуемся равенствами (9.2). Получим

.

Откуда в силу основного свойства базиса имеем:

(9.3)

С матричной точки зрения получили соотношение . Это так называемое координатное равенство, очень похожее на операторное. Такое равенство, записанное на языке матричного умножения, позволяет представить действие любого линейного оператора в конечномерных пространствах. Именно это равенство и делает возможным исследование строения линейного оператора через строение его матрицы в подходящей паре базисов.

Распишем соотношения (9.3) подробно:

Из этих соотношений легко видно, что так как координатные столбцы векторов-образов линейно выражаются через столбцы матрицы оператора , то ранг оператора совпадает с рангом его матрицы. Если заменить левые части соотношений (9.3) нулями, то решая соответствующую однородную систему линейных алгебраических уравнений получим координатное представление ядра оператора. Как известно, размерность общего решения такой системы есть , где (см. гл.VI,т.6.9 ). Таким образом, дефект оператора есть , что подтверждает теорему 9.5.

Возникает вопрос: всякая ли матрица может служить матрицей некоторого линейного оператора, действующего из -мерного пространства в -мерное над полем Р? Ответ положительный. Пусть матрица , для которой записаны равенства (9.3). Эти соотношения задают некоторый линейный оператор . Если строить матрицу этого оператора в базисах и (точнее в их координатных представлениях), то получим как раз матрицу , ибо векторы , имеют в своем базисе вид единичных строк.

Отметим отдельно важный случай операторов из . Здесь, как правило, нет нужды задавать два базиса. Поэтому и матрица строится в одном базисе, когда образы базисных векторов разлагаются по тому же базису. В итоге получаем, например, матрицу в базисе – . Координатное равенство имеет при этом вид:

Пример 9.9. Очевидно, что матрицей нулевого оператора в любой паре базисов будет нулевая матрица соответствующих размеров.

Пример 9.10. Единичный оператор в любом базисе имеет единичную матрицу .

Пример 9.11. Построим матрицу оператора дифференцирования в базисе . Вычислим соотношения (9.2).

Теперь составим матрицу из коэффициентов разложений:

.

Продемонстрируем на этом примере применение координатного равенства. Пусть задан многочлен . В выбранном базисе ему отвечает столбец координат

.

Вычислим координатный столбец образа:

.

Пример 9.12. Пусть – оператор транспонирования. Зададим единичный базис в : . Выпишем соотношения (9.2):

Это дает возможность записать матрицу :

.

Если теперь взять произвольную матрицу второго порядка :

, то .

Тогда .

Соответствие между действиями над операторами и соответствующими матрицами

Для описания указанного выше соответствия введем специальное обозначение. Пусть вектор х в базисе имеет представление . Тогда обозначим через , .

Пусть теперь заданы два оператора , где , . В пространствах Х и зафиксируем соответствующие базисы и . В этих базисах опишем матрицы операторов: и . Пусть и . Рассмотрим элемент .

,

т.е., .

Лемма 9.6. Сумме операторов отвечает сумма их матриц в заданной паре базисов.

Если рассмотреть оператор и его матрицу , легко находим, что

.

Отсюда

Лемма 9.7. Матрица произведения оператора на число равна матрице этого оператора, умноженной на это же число для заданной пары базисов.

Наконец, рассмотрим произведение операторов. Пусть , и , где . Зададим базисы в пространствах соответственно: , и . В этих базисах зафиксируем матрицы операторов , и . Запишем для удобства рассуждений соотношения типа (9.2). Именно: .

Тогда

.

Здесь видно, что произвольный элемент матрицы выступает как элемент произведения матриц и . Таким образом, матрица . Отсюда лемма:

Лемма 9.8. Матрица произведения операторов равна произведению матриц сомножителей в соответствующим образом подобранных базисах.

Замечание. Становится теперь ясным, отчего сравнительно сложно определялось произведение матриц. Оказалось, что это произведение отражает операцию произведения линейных операторов.

Теорема 9.8.

Пусть и – два линейных пространства, , . Тогда , т.е., пространство операторов изоморфно пространству матриц.

Доказательство. Зафиксируем базисы в указанных пространствах: и . Для данного оператора А запишем матрицу в данных базисах – . И учредим соответствие по правилу . Очевидно, что это соответствие является отображением. Отображение сюръективно, ибо, как было указано, каждая матрица из является матрицей какого-либо линейного оператора из в данной паре базисов. Отображение – инъективно, так как из координатного равенства следует, что если равны матрицы двух операторов в одной паре базисов, то равны и операторы. Таким образом, получается, что – биекция. Ее линейность следует из лемм 9.6 и 9.7. Тем самым теорема доказана.

Следствие. .

Переход к новым базисам

Завершая предварительное описания понятия матрицы оператора остановимся на вопросе б изменении матрицы при переходе к новой паре базисов. Пусть задан оператор и его матрица в базисах и . Введем новую пару базисов – и . Пусть матрицей перехода от базиса к базису будет , а от к – . Тогда для произвольного пусть и , а . Для обеих пар базисов имеем два координатных равенства:

и .

Подставим в первое равенство выражения для и . Получим

,

.

Умножая обе части последнего равенства на слева и сравнивая со вторым координатным равенством, получим

,

.

Теперь, если для произвольного столбца имеем такое равенство, то

. (9.4)

Это и есть та формула, которая связывается матрицы одного и тог же оператора для разных пар базисов. В случае, если , то нет нужды, как уже говорилось, в двух базисах. Поэтому соответствующая формула упрощается, а именно:

.

Эквивалентность и подобие матриц

Основной задачей этого параграфа является выяснение вопроса о простейшем виде матрицы оператора .

Определение 9.14. Пусть заданы две матрицы .Матрица В называется эквивалентной матрице А, если существуют такие матрицы и такие, что .

Лемма 9.9. Бинарное отношение эквивалентности матриц на множестве матриц данного размера над полем Р есть отношение эквивалентности.

Доказательство. Рефлексивность проверяется равенством . Симметричность следует из равенства , ибо С и – невырожденные. Пусть теперь и . Тогда , что означает эквивалентность матрицы матрице А. Таким образом, транзитивность тоже выполняется, ибо и как произведения невырожденных матриц одного порядка.

Лемма 9.10 (первый критерий эквивалентности матриц).

Две матрицы одного размера над полем Р эквивалентны тогда и только тогда, когда являются матрицами одного линейного оператора в подходящим образом выбранных базисах.

Доказательство. Необходимость. Если матрица эквивалентна матрице , то выполняется равенство с и . Если рассматривать матрицу А как матрицу линейного оператора из в некоторых базисах и , то интерпретируя матрицы и как матрицы перехода к новой паре базисов, получаем требуемое.

Достаточность. Если матрицы А и В – это матрицы одного оператора для разных пар базисов, то равенство (9.4) доставляет требуемое.

Теорема 9.9 (второй критерий эквивалентности матриц).

Две матрицы одного размера над полем Р эквивалентны тогда и только тогда, когда имеют одинаковые ранги.

Доказательство. Необходимость. Пусть матрица эквивалентна матрице , то для некоторых и

.

Вычислим ранг В.

.

Здесь воспользовались следствием из теоремы 6.2 об умножении на невырожденную матрицу.

Достаточность. Пусть теперь для матриц из предыдущей части доказательства. Покажем большее. Покажем, матрицы В и А эквивалентны каждая матрице , где

.

Здесь в левом верхнем углу расположена единичная матрица порядка , а остальные элементы равны нулю.

Действительно, пусть линейный оператор, действующий из - мерного пространства Х в - мерное пространство . И пусть матрица А будет матрицей этого оператора в базисах и . Таким образом, . Тогда ранг этого оператора равен числу . Следовательно, при известной перенумерации базисных векторов можно считать, что . При этом

.

Построим новую пару базисов для записи матрицы оператора А : и . Положим в Х

А в пространстве

В этой паре базисов матрица оператора А приобретает вид .Формально, надо бы доказать, что система – базисная, но оставим это студентам. Теорема доказана.

Теорема 9.9 говорит о том, какова простейшая форма записи матрицы оператора из . Это как раз матрица с точностью до перестановки векторов в базисе. В силу свойства транзитивности отношения эквивалентности матриц эта матрица подобна любой матрице ранга над полем Р. Такой простой вид возможен от того, что базисы в Х и выбираются независимо. Случай операторов из гораздо более сложен. Ему будет посвящено все остальное исследование этой главы.

Определение 9.15. Матрица называется подобной матрице , если существует такая матрица такая, что . Матрица называется матрицей подобного преобразования.

Лемма 9.10. Бинарное отношение подобия матриц на множестве всех квадратных матриц данного порядка над полем Р есть отношение эквивалентности.

Доказательство очень похоже на доказательство леммы 9.9.

Лемма 9.11 (первый критерий подобия матриц).

Две квадратные матрицы одного порядка над полем Р подобны тогда и только тогда, когда являются матрицами одного линейного оператора в подходящих базисах.

Доказательство и этой леммы во многом повторяет доказательство леммы 9.10.

Вопрос о подобии матриц достаточно сложен и будет в дальнейшем увязан с теорией операторов из . Здесь же будет решаться и вопрос о наиболее простом виде матрицы таких операторов.

Собственные подпространства

Начнем изучать операторы из . Рассмотрим один специальный случай, когда образ вектора коллинеарен прообразу. Оказывается, что такая возможность имеет важные последствия.

Определение 9.16. Пусть – линейное пространство и . Тогда вектор называется собственным вектором оператора , отвечающим собственному значению , если выполнено условие .