Интегральные представления

Пусть имеется объект с границей и внешней областью (граница ) с расположенными в ней сторонними возбуждающими токами .

В области волновая функция удовлетворяет уравнению Гельмгольца

, (1)

Волновая функция должна удовлетворять условиям излучения

,

Необходимо получить интегральное представление функции в области . Функция Грина удовлетворяет уравнениям Гельмгольца

, (2)

Для нахождения решения уравнения (1), умножим (1) на , а (2) – на ИУ. Выполняем вычитание левых и правых частей и интегрирование полученных выражений по области . В результате имеем:

Далее выполняем следующие преобразования:

а). поверхностный интеграл заменим контурным при помощи скалярной теоремы Грина

Функции, входящие в интеграл, непрерывны вместе с производными второго порядка везде, вплоть до контура , который должен быть главкой по критерию Ляпунова (в каждой точке контура существует нормаль). Поскольку , а на выполняется условие излучения, то в контурном интеграле остается интеграл по контуру . Во втором слагаемом справа интеграл дает .

Из-за симметрии функции Грина (в функции Грина замена не делается) . В итоге получаем

– внешняя нормаль по отношению к области , - область, где .

В результате, для нахождения решения в некоторой области необходимо располагать сведениями о его поведении на границе .

В контурный интервал входят и .

Если – электрическое поле, то – магнитное поле. Если объект отсутствует, то