4 страница

Рис.2.4.7.

2.4.3 Основные дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости

Рис. 2.4.8.

Рассмотрим элементарный объем в потоке жидкости рис.2.2.13. Запишем второй закон Ньютона для выделенной массы жидкости в проекции на оси xyz.

(2.4.16)

Где Jx, Jy, Jz – проекции ускорения; m-масса выделенного объема; Rx , Ry , Rz , - сумма сил действующих на выделенный объем.

Проекцию ускорения можно выразить как

(2.4.17)

Масса выделенного объема составляет:

.(2.4.18)

Проекции сил давления на соответствующие оси координат можно представить в виде:

(2.4.19)

Массовые силы в проекциях на оси координат составят:

(2.4.20)

Где X,Y,Z -проекции ускорений на соответствующие оси координат.

Подставляя рассмотренные составляющие в систему уравнений (46) (2.4.16) получим

(2.4.21)

Данная система уравнений описывает движение идеальной жидкости.

В полученную систему уравнений входит пять неизвестных составляющих - ux, uy, uz, p и . Поэтому для решения указанной системы уравнений необходимо уравнение неразрывности и уравнение состояния (характеристическое уравнение)

2.4.4 Уравнение движения вязкой жидкости

Уравнения движения вязкой жидкости можно описать вышеприведенной системой уравнений (2.4.21)

(47) с введением в нее сил вязкости.

, (2.4.22)

Где Fx, Fy, Fz-проекции сил вязкости на координатные оси отнесенные к единице массы.

В окончательном виде уравнение (2.4.22) имеет вид:

(2.4.23)

2.4.5 Решение основного дифференциального уравнения движения невязкой жидкости в случае установившегося движения.

В случае установившегося движения производные скорости во времени равны нулю, т.е.

(2.4.24)

В этом случае уравнение (2.4.23) примет вид:

(2.4.25)

При установившемся движении линии тока совпадают с траекториями движения. Умножая на dx,(соответственно на dy, dz) уравнения (2.4.25) получим

(2.4.26)

Складывая, правые и левые части уравнения (2.4.26) получим

(2.4.27)

В данном выражении (2.4.27) составляющая

(2.4.28)

Где U-силовая функция.

В данном случае

,(2.4.29)

Где u полная скорость в рассматриваемой точке.

Если рассматривать движение жидкости, которое происходит под действием силы тяжести, то силовую функцию можно представить в виде

В этом случае уравнение (52) примет вид:

(2.4.30)

Умножив каждое из составляющих уравнения (2.4.30) на массовый расход и dt получим

(2.4.31)

Проинтегрировав уравнение (2.4.31) с учетом, что

имеем:

(2.4.32)

Предполагая, что давление по сечению величина постоянная, окончательно получим:

(2.4.33)

H - полный напор, в метрах водяного столба.

Или в паскалях:

(2.4.33.а)

P-полное давление в паскалях

Уравнение (2.4.33.а) принято называть уравнением Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости.

Уравнение Бернулли (2.4.33.а) представляет собой уравнение энергии потока идеальной жидкости с одинаковыми скоростями все точек потока.

Составляющие указанного уравнения представляют собой:

-составляющая потенциальной энергии

-кинетическая составляющая уравнения энергии

Уравнение Бернулли представляет собой уравнение сохранения удельной энергии для потока идеальной жидкости, которое устанавливает, что для любого сечения потока сумма потенциальной и кинетической энергии есть величина постоянная.

2.4.6 Решение основного дифференциального уравнения движения вязкой жидкости в случае установившегося движения поле сил тяжести.

В случае установившегося движения производные скорости во времени равны нулю, т.е.

С учетом приведенных выше допущений, суммируя, правые и левые части уравнения (2.4.23) окончательно уравнение (2.4.34)

примет вид:

(2.4.34)

Решив уравнение (2.4.34)

с учетом, что и в поле сил тяжести имеем:

(2.4.35)

Принимая сумму «операторов Лапласа» (2.4.23) как потери связанные с потерями энергии ввиду вязкости жидкости при прохождении от сечения 1-2 ( ) можно записать для потока вязкой жидкости и различных сечений:

,

(2.4.36)

где α-коэффициент Кориолиса в соответствующем сечении

В общем приближении можно записать

.(2.4.37)

В результате уравнение 2.4.36 примет вид:

(2.36.а)

Где потери энергии потока жидкости от сечения-1 до сечения -2

Или уравнение (2.36 а) в «напорах»:

(2.36.б)

2.4.7. Основные понятия о гидродинамическом подобии и методе анализа размерности.

Математическое моделирование. При исследовании гидравлических процессов с помощью математического моделирования изучаются явления, отличные от натурных (физических), но описываемые теми же математическими уравнениями. Совокупность уравнений, описывающих определённый физический процесс, называют математической моделью , а изучение его поведения в тех или иных условиях путём решения уравнений - математическим моделированием. В отличие от физического применение математического моделирования при соответствующей математической модели не ограничено.

Математическая модель гидравлического явления или процесса обычно создаётся на основании применения к ним наиболее общих законов механики, таких, как сохранение движения, массы и энергии. Записывая эти законы в виде систем дифференциальных уравнений и аналитически их исследуя, то есть используя методы классической механики, можно получить информацию о процессах или явлениях, которые не наблюдались в ограниченном диапазоне изменения исследуемых величин.

Применяя общие теоремы механики или термодинамики к частным случаям потока жидкости в конкретных условиях, получают математические модели гидравлических процессов, как правило, в виде сложных систем дифференциальных уравнений в частных производных. Аналитические методы интегрирования и исследования таких уравнений, традиционные для классической механики и гидравлики, в настоящее время всё чаще вытесняются методами численного расчёта подобных систем с использованием ЭВМ.

Другой путь состоит в том, что аналитические приёмы интегрирования и исследования систем дифференциальных уравнений используются в сочетании с эмпирическими приёмами. В этом случае зависимости, выведенные из фундаментальных законов механики, применяются при аналитическом исследовании совместно с зависимостями, установленными экспериментальным путём, обычно на основе осреднения данных натуральных изменений. Классическими примерами являются полуэмпирические теории турбулентности и теории пограничного слоя.

Численный , или вычислительный, эксперимент - это современный метод теоретических исследований. опирающихся на “экспериментирование” с математической моделью, только роль лабораторной установки выполняет ЭВМ, ведущая вычисления по заданной программе.

В настоящее время широко е развитие получили численные методы, ориентированные на использование современных быстродействующих ЭВМ. Среди них можно выделить 2 альтернативных метода метод конечного элемента (МКЭ) и метод конечных разностей (МКР). Применение этих методов заставило обратить внимание на целый ряд новых аспектов при исследовании гидравлических процессов. Особенно важным достижением в этой области следует считать исследования, связанные с изучением граничных условий при различных типах движения жидкости.

Следует считать, что все последующие, значительные, достижения в гидравлике должны базироваться на рациональном использовании в одном исследовании всех 3 методов: аналитического, эмпирического и вычислительного.

примерами математического моделирования являются: исследование движения грунтовых вод методом гидродинамических аналогий (ЭГДА), исследования и расчёты турбулентных свободных пограничных слоёв, струй и следов, стратифицированных течений, неустановившихся течений в руслах и сооружениях, переходных процессов в ирригационных каналах, русловых процессов в зоне мостовых переходов и т. п.

Детально вопросы математического моделирования с анализом расчётных схем, алгоритмов и программ расчётов проводятся в специальной литературе.

Достоверность численных расчётов математического моделирования была подтверждена уникальными натурными исследованиями в широком диапазоне.

Физическое моделирование. При таком моделировании изучаемые гидравлические процессы воспроизводятся на модели, отличающейся в масштабе от натуры, на основе общих законов подобия механических систем. Явления (процессы) будут механически подобны в том случае, если в них одинаково отношение всех геометрических элементов - размеров, расстояний, перемещений, одинаково отношение плотностей и сил, действующих в соответственных точках и направлениях. Моделью в этом случае называется уменьшенное гидротехническое сооружение или гидравлическая машина вместе с омывающим её потоком жидкости.

Для полного гидродинамического подобия потоков необходимо их геометрическое, кинематическое и динамическое подобие.

Геометрическое подобие. Два потока будут геометрически подобными, если между их соответствующими линейными размерами существует постоянное соотношение

lH /l M = a = const (2.4.38)

где а - линейный масштаб, показывающий во сколько раз размеры модели lM уменьшены, по сравнению с размерами натуры lH.

Геометрическое подобие предусматривает также постоянными соотношения площадей

, (2.4.39)

а также подобие объемов

(2.4.40)

Два потока будут подобны (кинематически) при подобии полей скоростей и ускорений натуры и модели, которое выполняется если скорости VH и V M и ускорения J M и J H в сходственных точках натуры и модели находятся в одинаковых соотношениях, то есть существуют масштабы скоростей a v и ускорений а j :

(2.4.41)

(2.4.42)

При этом аV = const и a j = const . Кинематическое подобие обязательно включает в себя геометрическое подобие.

Динамическое подобие. Для динамического подобия необходимо, чтобы все силы, действующие в подобных точках модели и натуры на частицы жидкости, отличались между собой только постоянными масштабами при равенстве углов, характеризующих направление этих сил.

Другими словами. явления динамически подобны, если физическая природа действующих на жидкость сил одинакова и векторы этих сил образуют геометрически подобные силовые многоугольники. На любую частицу жидкости в общем случае действуют следующие силы - сила тяжести, сила давления, сила трения.

Равнодействующая этих сил F, согласно второму закону И. Ньютона, равна произведению массы и ускорения пропорциональная плотности жидкости, ускорению свободного падения g и объёму W ( или кубу линейного размера частицы l3 )

, (2.4.43)

Где

(2.4.44)

(2.4.45)

(2.4.46)

(2.4.47)

Из условия подобия отношения всех пар сходственных сил натуры и модели равны:

(2.4.48)

где aF - масштаб сил, то есть число, показывающее во сколько раз силы в натуре ( с индексом «н») больше соответствующих сил в модели (с индексом «м»).

Величины а, аv, аF называются масштабными множителями. Выбор всех масштабных множителей для подобных потоков не произволен, так как между ними существует определённая взаимосвязь.

Для нахождения гидродинамических критериев подобия используем дифференциальное уравнение движения вязкой жидкости (2.4.23) и уравнения неразрывности (2.4.15)

(2.4.15)

(2.4.23)

Запишем указанные уравнения в безразмерном виде, введя следующие безразмерные величины:

Приведенные относительные величины представляют собой – проекции линейного перемещения частицы жидкости, скорости, величины гидродинамического давления, проекций массовых сил. Допуская что плотность, вязкость и температура постоянны уравнение неразрывности и движения вязкой жидкости можно записать в виде:

(2.4.49)

Для данной системы уравнений масштаб скоростей и длин отличны от нуля и бесконечности. Учитывая это уравнение неразрывности достигается тожественно. Его можно исключить из рассматриваемой системы уравнений.

Для записи уравнений в безразмерном виде разделим на соотношение .

(2.4.50)

В приведенном уравнении все составляющие безразмерны. Для подобных процессов безразмерные уравнения одинаковы следовательно безразмерные комплексы, также одинаковы:

Безразмерные комплексы явдяются критериями динамического подобия:

критерий Фруда

критерий Эйлера

критерий Рейнольдса

критерий гомохромности или критерий Струхаля

Таким образом, из анализа дифференциальных уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости получаются четыре безразмерных критерия. Используя критерии составляются критериальные уравнения, позволяющие описывать моделируемые процессы.

(2.4.51)

Гидродинамическое (гидравлическое) подобие потоков обеспечивается равенством критериев Ньютона модели и натуры

(2.4.52)

Методы подобия и размерностей тесно связаны между собой, так как оба требуют отчётливого представления о механизме рассматриваемого явления. Однако для применения теории подобия нужны уравнения, определяющие процесс, а метод анализа размерностей применяется, когда уравнения процесса неизвестны. С помощью этого метода обрабатываются данные опытов и делают последующие обобщения.

Начало общей теории этого метода было впервые положено в 1911 г. русским учёным Г. А. Федерманом (Известия Петербургского института, т. ХУ1, вып.1), доказавшим фундаментальную теорему подобия - Пи - теорему: всякое уравнение, выражающее некоторую физическую закономерность и поэтому не зависящее от выбора систем единиц измерения, связывающее собой N физических величин, среди которых величины обладают независимыми размерностями, может быть преобразовано в уравнение, связывающее ( N- n) независимых безразмерных комплексов, составленных из упомянутых N физических величин.

Суть этой теоремы заключается в следующем.

Пусть W является функцией N размерных величин:

(2.4.53)

Можно доказать, что эту зависимость можно заменить критериальным уравнением

П = f (1,1, .... 1, п1, п2.....пN-n), (2.4.54)

где роль размерных величин играют (N - n) безразмерных величин. Если основная система состоит из 3 единиц (масса, длина, время), то n=3 и вместо N величин рассматриваемое явление представляется в виде зависимости между безразмерными комплексами этих величин.

Таким образом, восстановленное путём логических рассуждений уравнении, характеризующем данное явление, размерности величин в правых и левых частях , выраженные через размерности основных физических величин (масса М, длина l, время Т) должны соответствовать друг другу.

.

2.4.8. Основные правила моделирования.

Выбор масштаба моделирования. При выборе масштаба модели с учётом принятого критерия необходимо соблюдать ряд условий, вытекающих из общих законов подобия:

1. Если поток в натуре турбулентный, то он должен быть турбулентным и на модели ( ReM>Rekp) при этом минимально допустимый масштаб модели:

amin = (30 ... 50) , (2.4.55)

где VH и RH - скорость, м/с, и гидравлический радиус, м, для натуры.

2. Если поток в натуре в спокойном состоянии ( Fr < 1) или в бурном состоянии (Fr>1), то он должен быть соответственно в таком же состоянии и на модели. На соблюдение этого условия нужно обращать особое внимание при искажении масштаба модели.

3. При моделировании следует стремиться к геометрическому подобию шеороховатости, хотя иногда это практически трудно осуществимо (тогда возможно моделирование по условию =idem )

4. Если исследование связано с изучением движения насосов, то насосы на модели должны двигаться подобно натуре.

5. Если кавитация (разрыв сплошности струи) есть в натуре, то она должна быть в том же месте и на модели.

6. Влияние поверхностного натяжения должно быть настолько относительно малым, чтобы оно не мешало образованию волн.

Моделирование течений. Критериальное уравнение для моделирования установившегося движения в напорных водоводах при отсутствии объёмных сил тяжести можно записать в виде:

(2.4.56)

где - относительная шероховатость стенок водовода.

Условия моделирования для случая, когда неизвестна величина перепада давления входящего в критерий Эйлера, определяются числом Re= idem

Тогда

(2.4.57)

При соблюдении критерия Рейнольдса критерий Эйлера выполняется автоматически и равен:

(2.4.58)

Гидравлический коэффициент трения может и не зависеть от числа Рейнольдса, что справедливо в области гидравлически шероховатых труб, называемой областью квадратичного сопротивления и характеризующейся большими числами Рейнольдса. Такая область потока, где не зависит от числа Рейнольдса, называется автомодельной, в ней можно пренебречь силами вязкости и принять . В этом случае условия подобия определяются при

, . (2.4.59)

Если поток в натуре находится в зоне квадратичного сопротивления, то задача моделирования сводится к подбору шероховатости русла модели для обеспечения условия . Нижнюю границу квадратичной зоны можно установить по формуле Никурадзе:

, (2.4.60)

где - диаметр трубы и коэффициент гидравлического сопротивления трения модели.

С учётом того, что в переходной зоне сопротвления изменение гидравлического коэффициента трения невилико, предельное число Рейнольдса может быть уменьшено ао формуле Зегжда:

(2.4.61)

Так как условия входа в трубопровод оказывают влияние на характеристики турбулентного потока, то необходимо учитывать длину участка стабилизации, которая равна 50 диаметрам. На расстоянии большем, чем длина участка стабилизации, характеристики турбулентности становятся соответствующими данной форме русла и его шероховатости. Кроме того, имеются рекомендации, определяющие минимальное расстояние, при котором не сказывается взаимное влияние местных сопротивлений.

Для гладких водоводо (полиэтиленовые, стеклянные, деревянные, иногда бетонные и стальные) подобие устанавливается при условии:

Re = idem f(Re) (2.4.62)

Для напорных водоводов существует ещё одна автомодельная область ламинарного режима весьма медленных течений вязких жидкостей, когда можно пренебречь силами инерции. В этом случае условие подобия определяется критерием Лагранжа:

(2.4.63)

что приводит к условию:

(2.4.64)

В открытых руслах движение воды происходит под действием сил тяжести и трения, и поэтому критериальное уравнение для физической величины в общем случае имеет вид:

, (2.4.65)

а для установившегося движения

(2.4.66)

2.5. ПРИКЛАДНАЯ ГИДРАВЛИКА

2.5.1. Виды гидравлических сопротивлений

Для определения величины потерь энергии используется уравнение Бернулли (2.36.б) и уравнение сохранения массы (уравнение расхода - 2.4.5)

(2.36.б)

(2.4.5)

Таким образом, в этих двух уравнениях остаются три неизвестных: . Для определения этих величин необходимо знать зависимость потерь напора (давления) от скоростного напора.

В общем случае потери напора связанные с движением жидкости складываются из линейных потерь (потери связанные с трением жидкости о стенки канала) и локальных потерь напора (местных потерь).

(2.5.1)

Потери напора (давления) на трение в трубах и каналах можно определить из формулы:

, (2.5.2)

Где λ – коэффициент гидравлического сопротивления трения;

l – длинна трубопровода; d – диаметр трубопровода; V – скорость жидкости в трубопроводе.

Потери напора связанные с локальными потерями можно определить из выражения:

, (2.5.3)

где ζ – коэффициент местных потерь.

В общем случае потери энергии в трубопроводе зависят от характеристик материала трубопровода, физических свойств жидкости, режима течения.

2.5.2. Ламинарные и турбулентные режимы движения жидкости