Дифференциальные уравнения в частных производных. Основные определения и понятия

Определение 1.40 Уравнение, связывающее неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные, называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядок высшей частной производной, входящей в уравнение, определяет порядок уравнения.

Для функции независимых переменных уравнение -го порядка имеет вид

.

(1.79)

.

Обычно приходится иметь дело с уравнениями для функций двух, трех, четырех переменных.

Общий вид уравнений первого и второго порядков для функции двух переменных соответственно таков:

,

(1.80)

,

(1.81)

где

, , , , .

Решением уравнения в частных производных (1.79) называется всякая функция ( для уравнений (1.80), (1.81)), которая, будучи подставлена в уравнение вместо неизвестной функции и ее частных производных, обращает это уравнение в тождество по независимым переменным.

Познакомимся (без доказательства) с простейшими свойствами уравнений в частных производных на примерах некоторых их видов для функции двух переменных.

Рассмотрим для функции уравнение первого порядка вида

.

(1.82)

Ясно, что искомая функция не зависит от переменной , но может быть любой функцией от :

,

(1.83)

поскольку, дифференцируя по , мы получим нуль, а это значит, что равенство (1.82) выполняется. Следовательно, решение (1.83) содержит одну произвольную функцию . В этом и заключается коренное отличие решения уравнения в частных производных первого порядка от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения того же порядка, которое содержит лишь произвольную постоянную. По аналогии решение (1.83), содержащее одну произвольную функцию, будем называть общим решением уравнения (1.82).

Рассмотрим уравнение

,

(1.84)

где - заданная функция. Все функции , удовлетворяющие уравнению (1.84), имеют вид

,

(1.85)

где - произвольная функция от . Это можно проверить, дифференцируя обе части равенства (1.85) по . Найденное решение данного уравнения зависит от одной произвольной функции , т.е. является общим.

Рассмотрим теперь уравнение второго порядка

.

(1.86)

Положим, , после чего уравнение (1.86) примет вид . Однако, как установлено, общее решение уравнения имеет вид (1.83), т.е. , где - произвольная функция. Исходное уравнение (1.86) перепишем так:

.

Согласно (1.85) его общим решением будет функция

.

Так как - произвольная функция, то интеграл от нее будет также произвольной функцией , которую обозначим через . В результате решение принимает вид

,

(1.87)

где , - произвольные дифференцируемые функции. Легко проверить, что функция вида (1.87) удовлетворяет уравнению (1.86).

Итак, решение (1.87) уравнения (1.86) второго порядка содержит уже две произвольные функции. Такое решение называется общим.

Приведенные уравнения дают основание сделать заключение: общее решение уравнения первого порядка в частных производных содержит одну произвольную функцию, а общее решение уравнения второго порядка – две произвольные функции.

Позже будет выяснено, какие дополнительные условия надо задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т.е. функцию, удовлетворяющую как уравнению, так и дополнительным условиям.