ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ. Электромагнитные волны.

Волновое уравнение.

Рассмотрим непроводящую однородную среду, характеризуемую диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью . Пусть в этой среде отсутствуют свободные заряды и токи проводимости, т.е. и . Кроме того, и , иными словами, рассматриваемая область не содержит ферромагнетиков.

Тогда система уравнений Максвелла принимает вид:

, ,

, .

Перепишем уравнения для вихрей полей в виде

и .

Продифференцируем первое уравнение по времени:

.

Применяя операцию ко второму уравнению и подставляя полученный из первого результат, находим

.

Из векторного анализа имеем

,

где .

, т.к. из-за условия .

Итак, имеем

, и аналогично для или : . (6.1)

Уравнение вида

(6.2)

называется волновым уравнением. Здесь .

­ Рассмотрим одномерный случай, когда процесс распространяется вдоль оси . Тогда

.

Решением этого уравнения является функция вида .Это легко проверить

; и ; .

Смысл приведенного решения прост

-

уравнение волны, распространяющейся вдоль (знак «минус») или против (знак «плюс») оси со скоростью .

Действительно, равенство выполняется, если , или ,

т.е. имеет смысл скорости.

При фиксированных значениях и значение функции постоянно на всей плоскости, перпендикулярной . Поэтому такие волны называются плоскими.

Аргумент функции называется фазой волны. Уравнение поверхности постоянной фазы (волновой поверхности) имеет вид:

.

Дифференцируем это уравнение по времени: , получаем

фазовая скорость, т.е. скорость, с которой поверхность с фиксированным значением фазы (волновая поверхность) перемещается вдоль оси .

Сравнивая в (6.1) и (6.2) коэффициенты при вторых производных по времени, находим, что .

Т.о., электромагнитное поле распространяется от места возбуждения с конечной скоростью .

Если - гармоническая функция (колебательный процесс), то она описывает гармоническую или монохроматическую волну. Волна называется монохроматической (по-гречески - одноцветной), если поле волны является гармонической (синусоидальной) функцией времени.

Волна, распространяющаяся в положительном направлении оси , описывается уравнениями

; ,

где и - амплитуды волны: - частота электромагнитных колебаний или круговая частота.

Вводя обозначение , где - волновое число ( , т.е. равно числу длин волн, укладывающихся на отрезке см - отсюда его название), можем записать

или .

Аргумент косинуса называется фазой волны; - начальная фаза.

Если зафиксировать момент времени , то получаем синусоидальное распределение полей и в пространстве (вдоль оси ) в данный момент времени.

Если зафиксируем значение координаты , по получим синусоидальное распределение полей и в

зависимости от времени - гармонические колебания с частотой .

Период изменения напряженности поля в пространстве - это длина волны :

,

т.е. длина волны представляет собой то расстояние, на которое перемещается плоскость постоянной фазы за время, равное одному периоду колебаний .

Описать плоскую монохроматическую волну можно иначе, используя более общий подход.

Зададим направление распространения плоской волны с помощью единичного вектора , направленного по

нормали к плоскости постоянной фазы волны. Введем вектор .

Вектор , направленный в сторону распространения волны, называется волновым вектором.

Теперь можно записать , и, абстрагируясь от системы координат, получаем

; .

Эти уравнения описывают плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся в направлении

вектора .

Часто зависимость векторов электромагнитного поля от координат и времени удобно записывать в комплексной форме. Используем для перехода к комплексной форме записи формулу Эйлера:

.

Тогда общее решение волнового уравнения для плоской монохроматической волны можно представить в виде:

и .

Знак « » мы, как это принято, в дальнейшем будем опускать, не забывая при этом, что физический смысл имеет лишь вещественная часть используемых комплексных выражений:

и .

Амплитуды и в общем случае являются комплексными величинами. Можно записать

,

где модуль равен амплитуде колебаний, а аргумент - начальной фазе колебаний в точке . Аналогично может быть представлена комплексная амплитуда .

Комплексная запись особенно удобна, как мы увидим далее, при применении к векторам и дифференциальных операторов.

Резюмируем сказанное выше.

Из уравнений Максвелла следует вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно, т.е. отдельно от электрических зарядов и токов. Изменение состояния электромагнитного поля носит волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами.

Любая электромагнитная волна (гармоническая или электромагнитное возмущение произвольной формы) характеризуется следующими общими свойствами.

Основные свойства плоских электромагнитных волн.

1. Подставим уравнения плоских волн и в уравнения Максвелла.

: ;

; т.е. уравнение преобразуется к виду .

Для упрощения дальнейших вычислений заметим, что дифференцирование по времени векторов плоской волны сводится к умножению их на , а дифференцирование по координате - к умножению

на .

Уравнение таким же способом преобразуется к виду . Или

; .

Из полученных уравнений следует, что в плоской электромагнитной волне векторы и взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему. Из перпендикулярности

векторов и к волновому вектору (скорости волны ), т.е. направлению

распространения волны, следует, что электромагнитные волны — поперечные.

Это свойство следует также из уравнений и ,

которые преобразуются к виду и , соответственно.

2. Учитывая, что входящие в уравнения векторы , (здесь учтено,

что и ) и взаимно перпендикулярны, получаем, что .

Т.о., отношение численных значений векторов и от времени не зависит, т.е. эти векторы имеют одинаковые фазы и изменяются синхронно (между мгновенными значениями и в любой точке существует определенная связь ).

3. Выразим вектор из уравнения и подставим в уравнение .

Получаем

.

Расписывая двойное векторное произведение по правилу , имеем

,

т.к. из-за .

Получаем соотношение

, откуда и

.

Это так называемая фазовая скорость электромагнитной волны, т.е. скорость распространения колебаний одинаковой фазы. В вакууме ( ) скорость распространения поля численно равняется электродинамической постоянной, определяющей силу взаимодействия токов и имеющей размерность скорости. Значение электродинамической постоянной, найденное опытным путем, в пределах ошибок эксперимента равно скорости света в вакууме. Численное совпадение этих величин служит доказательством как электромагнитной природы света, так и правильности уравнений Максвелла, по крайней мере, в применении их к вакууму.

Отметим, что в признании конечности скорости распространения поля заключается основное отличие фактического содержания теорий близкодействия и, прежде всего, теории Максвелла, от теорий мгновенного дальнодействия начала прошлого столетия.

4. Если в электромагнитной волне поведение векторов и в пространстве и времени подчиняется

определенному закону, то такую волну называют поляризованной. Если направить ось системы координат вдоль волнового вектора , то вследствие поперечности электромагнитных волн векторы и будут иметь отличные от нуля проекции только на оси и .

Уравнения Максвелла допускают, в частности, такое решение, когда каждый из векторов и совершает колебания только вдоль одной из взаимно перпендикулярных осей. Тогда говорят, что волна имеет линейную, или плоскую поляризацию. Плоскость, в которой лежит вектор напряженности

электрического поля волны и волновой вектор , называют плоскостью поляризации или плоскостью колебаний.

Линейной не исчерпываются виды поляризации волн. О других видах поляризации разговор пойдет ниже.

6.3. Энергия и поток энергии электромагнитного поля.

Если принять, что энергия электромагнитного поля может быть локализована в пространстве, то её объемная плотность в произвольном месте поля определяется выражением

. (3.1)

Рассмотрим теперь изменение во времени энергии поля , заключенной в объеме , ограниченном неподвижной поверхностью .

. (3.2)

Если характеристики среды и не меняются со временем, то

. (3.3)

Подставляя сюда из уравнений Максвелла

и ,

имеем ,

или в силу векторного тождества :

. (3. )

Если среда неподвижна и мы пренебрегаем теплом, уходящим из среды вследствие теплопроводности (положив последнюю равной нулю), то изменение внутренней энергии единицы объема среды происходит за счет изменения энергии электромагнитного поля, определяемого выражением (3. ), и работы, совершаемой электрическим полем над токами проводимости , равной , т.е.

. (3. )

Введем обозначение

.

Тогда уравнение (3. ) приводится к виду:

.(3. )

Для выяснения физического смысла этого уравнения сравним его с уравнением непрерывности

.

Использование формальной аналогии позволяет сделать вывод, что энергия электромагнитного поля течет в пространстве подобно некоторой жидкости, причем вектор приобретает смысл плотности потока электромагнитной энергии.

В интегральной форме соотношение (3. ) принимает вид

, (3.*)

где - внутренняя энергия объема, ограниченного поверхностью .

Из уравнения (3.*) следует, что приращение внутренней энергии

в объеме происходит за счет электромагнитной энергии, втекающей в этот объем из окружающего пространства через поверхность .

Т.о., уравнение

(3. )

выражает закон сохранения энергии в электродинамике.

Представление о течении энергии сохраняется также при учете теплопроводности, но к плотности потока электромагнитной энергии в этом случае следует добавить плотность потока тепла.

Уравнение (3. ) носитназвание теоремы Умова – Пойнтинга.

Вектор плотности потока электромагнитной энергии называется вектором Пойнтинга.

Отметим, что кроме простоты выражение отличается большой общностью, так как вектор Пойнтинга выражается только через напряженности полей и и не содержит никаких величин, характеризующих индивидуальные свойства среды, в которой течет электромагнитная энергия.

6.4. Поток энергии в плоской электромагнитной волне.

Итак, плотность потока электромагнитной энергии задается вектором Пойнтинга

.

Ранее для вектора напряженности магнитного поля мы получили

.

Подставим его в выражение для вектора Пойнтинга :

.

Аналогично, в силу ,

, или .

Плотность энергии в электромагнитной волне равна

,

а с учетом имеем

.

, (т.к. ). Т.о., - электромагнитная волна переносит энергию в направлении своего распространения.

Примеры.

1. Выделение джоулева тепла в проводнике.

Пусть по цилиндрическому проводнику радиусом течет постоянный ток . Магнитное поле тока на поверхности проводника равно , а его силовые

линии представляют собой концентрические окружности.

Электрическое поле параллельно оси провода. Поэтому вектор

Пойнтинга направлен внутрь проводника нормально к его

боковой поверхности.

Следовательно, электромагнитная энергия втекает из окружающего пространства внутрь проводника.

Сравним её с количеством теплоты, выделяющемся в проводнике при протекании тока.

Поток электромагнитной энергии сквозь боковую поверхность участка проводника длиной :

, т.к. ; где - объем участка проводника.

Т.о., поток электромагнитной энергии, поступающей в проводник извне, целиком превращается в джоулево тепло.

2. Зарядка конденсатора.

Пусть плоский конденсатор имеет круглые обкладки радиусом , находящиеся на расстоянии друг

от друга.

Пренебрегая краевыми эффектами, найдем поток электромагнитной

энергии, втекающей в конденсатор через его боковую

«поверхность» (именно там вектор Пойнтинга направлен внутрь

конденсатора) в процессе его зарядки.

На этой «поверхности» имеется меняющееся во

времени электрическое поле и вызванное его изменением

магнитное поле .

По теореме о циркуляции вектора находим

,

где ток смещения.

Поток электромагнитной энергии внутрь конденсатора равен

.

Т.о., за время приращение энергий конденсатора составит, если ,

.

Проинтегрировав это выражение, мы получаем известную формулу для энергии заряженного конденсатора.

Поток импульса в электромагнитной волне (импульс электромагнитного поля).

Из специальной теории относительности (СТО) нам известно, что энергия замкнутой системы сохраняется, но не является инвариантом относительно преобразований Лоренца. Инвариантной величиной является

4^х-вектор энергии-импульса :

.

Другими словами, энергия и импульс взаимосвязаны. В теории относительности устанавливается, что масса, исходя из уравнения , является характеристикой энергосодержания системы. Тогда импульс

выступает как мера переноса “массы – энергии”.

, ( ). В вакууме и .

Введем понятие плотности импульса электромагнитного поля :

.

Т.о., импульс бегущей электромагнитной волны направлен в сторону распространения волны.

Плотность потока импульса электромагнитной волны .

Давление электромагнитных волн (света).

Среде, поглощающей или отражающей электромагнитные волны, сообщается импульс, равный разности импульсов электромагнитной волны до и после поглощения или отражения (по аналогии с механикой эти процессы можно рассматривать как неупругое и абсолютно упругое взаимодействия, соответственно). Поэтому среда должна испытывать давление электромагнитной волны!

Если среда непрозрачная, то волна частично отражается и частично поглощается ею. Введем для характеристики среды коэффициент отражения (полное отражение , полное поглощение ).

Пусть электромагнитная волна падает в вакууме на непрозрачную среду с коэффициентом отражения под углом к ее поверхности.

По определению . Рассмотрим по отдельности

изменение импульса волны при её отражении и поглощении.

Понятно, что при нахождении давления на поверхность среды

нас будет интересовать лишь нормальная составляющая импульса

волны, которая меняет знак на противоположный, не изменяясь по

модулю, при отражении и становится равной нулю при поглощении.

Отражение

; .

Поглощение

; .

Т.о., давление, оказываемое электромагнитной волной, падающей под углом на среду с коэффициентом отражения ,

.

Необходимое замечание. Если электромагнитная волна проходит сквозь среду, не поглощаясь, то она не

оказывает давления.

Частные случаи.

1. Нормально падающая волна полностью отражается ( ): ;

2. Нормально падающая волна полностью поглощается ( ): .

Давление, которое оказывают электромагнитные волны, отражаясь или поглощаясь в телах, можно рассматривать как результат воздействия магнитного поля волны на электрические токи, возбуждаемые электрическим полем той же волны.

Пусть электромагнитная волна распространяется в однородной среде, обладающей поглощением. Наличие поглощения означает, что , т.е. поглощающая среда обладает проводимостью.

Электрическое поле волны в такой среде возбуждает электрический ток плотностью .

Поэтому на единицу объема среды действует амперова сила , направленная в

сторону распространения волны. Этой силой и обусловлено давление электромагнитной волны.

Отсутствие поглощения означает, что проводимость и , т.е. в этом случае электромагнитная волна не оказывает давления на среду (отражение в этой модели можно рассматривать как поглощение с дальнейшим переизлучением).

На кварцевую нить наклеивались

лепестки из материалов, полностью

отражающих и полностью ( )

поглощающих свет.

На образец направлялся пучок света

от электрической дуги.

Величина передаваемого импульса

(давления) определялась по углу

скручивания нити, который измерялся с

помощью простой оптической системы.

Если известна жесткость нити на

закручивание , то момент вращающей

силы находится как , а сила,

действующая на лепесток, равна , где плечо силы.

Результаты опытов П.Н. Лебедева оказались в согласии с выводами теории Максвелла.

Давление электромагнитного излучения обычно бывает очень малым. Например, при потоке солнечной энергии на орбите Земли приблизительно 1,4 кВт/м² световое давление составляет 5 мкПа, что в 10¹⁰ раз меньше атмосферного давления.

Точность опыта по измерению давления света удалось повысить, используя модулированное электромагнитное излучение. Частота модуляции выбирается равной частоте собственных колебаний механической системы. Чувствительность установки возрастает при этом в раз, где - добротность механической системы.

Давление и импульс излучения проявляются, как это ни парадоксально, в двух противоположных по масштабам областях: астрономической и субатомной. Например, притяжение верхних слоев звезд к их центру в значительной степени уравновешивается давлением излучения, идущего от центра звезды наружу. Световое давление приводит к некоторому предельному значению массы, при котором звезда еще остается устойчивой. Этот вывод согласуется с астрономическими данными, согласно которым звезды с массой, превосходящей некоторый известный предел, не наблюдаются.

Из явлений микромира отметим эффект Комптона (который нам еще предстоит изучить), при котором рентгеновское излучение передает часть своего импульса электронам, на которых оно рассеивается, и тем самым сообщает этим «электронам отдачи» большие скорости. Импульс излучения обнаруживает себя также в «отдаче», которую испытывает атомное ядро при испускании гамма-лучей.

Преобразования векторов электромагнитного поля. Инварианты электромагнитного поля.

Изученные нами законы электродинамики применимы лишь к таким наблюдениям и измерениям, которые относятся к инерциальным системам отсчета (ИСО). Известно, что все инерциальные системы отсчета равноправны, поэтому законы всех физических, и том числе электромагнитных, явлений не изменяются при переходе от одной ИСО к другой. Однако легко заметить, что конкретные физические величины, характеризующие электромагнитное поле ( , плотности зарядов и токов и т.д.) будут изменяться при изменении системы отсчета.

Поэтому теория электромагнитных явлений должна, во-первых, установить правила изменения электромагнитных величин при переходе из одной системы отсчета в другую; во-вторых, показать, что установленные правила пересчета физических величин обеспечивают инвариантность законов электродинамики при изменении системы отсчета; в-третьих, отыскать инварианты электромагнитного поля.

Пусть имеются две ИСО: система отсчета и движущаяся относительно нее со скоростью система . При этом оси и координатных систем совмещены и вектор направлен вдоль оси . Предположим, что в некоторой пространственно-временной точке системы известны значения векторов и . Определим, какими будут значения полей и в той же самой пространственно-временной точке системы отсчета.

Одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, координаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями Лоренца.

; ; ; ,

где .

; . ,

Образуем 4^х – вектор , компоненты которого преобразуются по правилам:

; ; ; .

Как и раньше ; .

Для проведения преобразований удобно получить: ; ; ; .

Итак,

1. компонента вектора : , т.е. .

2. компонента вектора :

,

т.е. .

3. компонента вектора : ; ; ; .

; .

4. компонента вектора : ; ; ; .

; .

5. компоненты векторов и получаем аналогично:

; .

Формулы преобразования векторов электромагнитного поля можно также представить в виде:

; .

Из уравнений, определяющих законы преобразования векторов электромагнитного поля, следует, что каждый из векторов и выражается через комбинацию векторов и . Это свидетельствует о единой природе электрического и магнитного полей. Каждая из компонент электромагнитного поля не имеет абсолютного смысла, поэтому разговор об электрическом и магнитном полях может идти лишь в том случае, когда для них указана система отсчета. Раздельное рассмотрение этих полей возможно тогда и только тогда, когда оба поля являются статическими.

Инварианты электромагнитного поля.

Итак, при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую векторы электромагнитного поля и изменяются. Как мы видели выше, мыслима такая ситуация, когда в некоторой системе отсчета отличны от нуля обе компоненты электромагнитного поля, а в другой имеется только электрическое поле.

Другими словами, возникает вопрос об инвариантных, т.е. не зависящих от выбора системы отсчета количественных характеристиках электромагнитного поля. Безусловно, первым в числе таких характеристик следует отметить электрический заряд , величина которого не зависит от выбора системы отсчета.

Электрический заряд – релятивистский инвариант.

Далее под инвариантами преобразований электромагнитного поля мы будем понимать величины, не изменяющие своих значений при переходах между инерциальными системами отсчета, составленные из векторов поля.

Вообще говоря, есть способы нахождения инвариантов преобразований. Однако, мы поступим иначе и прямым вычислением покажем, что инвариантами электромагнитного поля являются приведенные ниже комбинации векторов поля.

(1) ; .

(2) ; .

(3) .

Убедимся в этом, используя правила преобразования полей.

(1):

(2):

Аналогично устанавливается инвариантность комбинации векторов поля (3).

Анализ инвариантов электромагнитного поля позволяет сделать следующие выводы.

1) Если в некоторой инерциальной системе отсчета (ИСО) и , то можно выбрать такую

систему отсчета, где электрическое поле отсутствует, а магнитное поле отлично от нуля. Если же условие не выполняется, то такой ИСО не существует.

2) Если в некоторой ИСО и , то можно выбрать такую систему отсчета, где магнитное поле отсутствует, а электрическое поле отлично от нуля. Если же условие не выполняется, то такой ИСО не существует.

3) Если в какой-либо ИСО имеется только электрическое (магнитное) поле, то при переходе в другую ИСО наблюдаются, вообще говоря, как электрическое, так и магнитное поля, которые перпендикулярны друг другу.

Обратимся теперь к плоской электромагнитной волне. Плоская электромагнитная волна характеризуется вполне определенными свойствами: векторы и взаимно перпендикулярны, а их модули связаны соотношением (в вакууме ). Возникает вопрос – сохраняются ли свойства векторов электромагнитного поля при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую? Это принципиальный вопрос. Если сохраняются, то понятие плоской электромагнитной волны является релятивистски инвариантным, отражающим внутренние свойства электромагнитного поля волны. В противном же случае, это понятие не определяет объективно существующего физического объекта, а зависит от случайного выбора системы отсчета.

Полученные нами правила преобразований позволяют убедиться, что векторы напряженности электромагнитного поля и , удовлетворяющие условиям, вытекающим из свойств плоской волны, в одной системе отсчета, удовлетворяют этим условиям и в другой системе отсчета.

Т.о., плоская электромагнитная волна является релятивистски инвариантным понятием, определяющим объективно существующий физический объект.

4) Плоская волна, для которой и ( и ), остается плоской волной во всех ИСО.

Из последнего вывода – об инвариантности плоской волны – следует, что если поле в некоторой пространственно-временной точке равно нулю, то это утверждение объективно и не зависит от того, в какой ИСО рассматривается эта точка. Иначе говоря, векторы электромагнитного поля в данной пространственно-временной точке во всех системах отсчета равны нулю, т.е. фаза волны во всех системах отсчета одинакова, что доказывает ее инвариантность.

Фаза плоской электромагнитной волны – релятивистский инвариант.

Инвариантность фазы следует из формул преобразования векторов поля.

Фаза волны может быть представлена в виде .

Правая часть выражения имеет вид скалярного произведения. Совокупность величин, стоящих в правой части, может быть представлена в виде 4^х-вектора: , или .

Тогда при переходе из одной системы отсчета в другую величины, образующие 4^х-вектор, будут изменяться в соответствии с преобразованиями Лоренца.

Если система отсчета движется со скоростью в направлении оси неподвижной системы, то

.

Пусть угол между векторами и (направлением движения и линией наблюдения),

тогда , где ,

т.е., если частота электромагнитных колебаний, излучаемых

неподвижным в системе отсчета источником, то частота колебаний, воспринимаемых приемником, движущимся вместе с системой со скоростью .

Излучаемая источником частота может быть найдена по измеренной приемником частоте как

.

Изменение частоты, регистрируемой приемником по отношению к частоте излучателя, обусловленное их относительным движением со скоростью , называется эффектом Доплера.