Объемная плотность энергии электростатического поля.

Если проводник поместить во внешнее электростатическое поле, то оно будет действовать на его заряды, которые начнут перемещаться. Это процесс протекает очень быстро, после его завершения устанавливается равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри проводника оказывается равным нулю. С другой стороны, отсутствие поля внутри проводника говорит об одном и том же значении потенциала в любой точке проводника, а также о том, что вектор напряженности поля на внешней поверхности проводника перпендикулярен ей. Если бы это было не так, появилась бы составляющая вектора напряженности, направленная по касательной к поверхности проводника, что вызвало бы перемещение зарядов, и равновесное распределение зарядов нарушилось бы.

Если мы зарядим проводник, находящийся в электростатическом поле, то, заряды у него будут располагаться только на внешней поверхности, так как, в соответствии с теоремой Гаусса, из-за равенства нулю напряженности поля внутри проводника нулю будет равен и интеграл от вектора электрического смещения D по замкнутой поверхности, совпадающей с внешней поверхностью проводника, который, как было установлено ранее, должен быть равен заряду внутри названной поверхности, т. е. нулю. При этом возникает вопрос о том, можем ли мы сообщить такому проводнику любой, сколь угодно большой заряд, Чтобы получить ответ на этот вопрос, найдем связь между поверхностной плотностью заряда и напряженностью внешнего электростатического поля.

Выберем бесконечно малый цилиндр, пересекающий границу «проводник – воздух» так, чтобы его ось была ориентирована вдоль вектора Е. Применим к этому цилиндру теорему Гаусса. Понятно, что поток вектора электрического смещения вдоль боковой поверхности цилиндра будет равна нулю из-за равенства нулю напряженности поля внутри проводника. Поэтому полный поток вектора D через замкнутую поверхность цилиндра будет равен только потоку через его основание. Этот поток, равный произведению D∆S, где ∆S – площадь основания, равен суммарному заряду σ∆S внутри поверхности. Иными словами, D∆S = σ∆S, откуда следует, что

D = σ, (3.1.43)

тогда напряженность электростатического поля у поверхности проводника

E = σ/(ε₀ε), (3.1.44)

где ε – диэлектрическая проницаемость среды (воздуха), которая окружает проводник.

Поскольку поле внутри заряженного проводника отсутствует, то создание внутри него полости ничего не изменит, т. е. не повлияет на конфигурацию расположения зарядов на его поверхности. Если теперь проводник с такой полостью заземлить, то потенциал во всех точках полости будет равен нулю. На этом основана электростатическая защита измерительных приборов от влияния внешних электростатических полей.

Теперь рассмотрим проводник, удаленный от других проводников, других зарядов и тел. Как нами было установлено ранее, потенциал проводника пропорционален его заряду. Опытным путем было установлено, что проводники, изготовленные из разных материалов, будучи заряженными до одного и того же заряда, обладают разными потенциалами φ. И наоборот, у проводников из разных материалов, имеющих одинаковый потенциал, различаются заряды. Поэтому мы можем записать, что Q = Cφ, где

C = Q/φ (3.1.45)

называется электроемкостью (или просто емкостью) уединенного проводника. Единицей измерения электроемкости является фарад (Ф), 1 Ф – емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда, равного 1 Кл.

Поскольку, как было установлено ранее, потенциал шара радиуса R в диэлектрической среде с диэлектрической проницаемостью ε

φ =(1/4πε₀)Q/εR, (3.1.46)

то с учетом 3.1.45 для емкости шара получим выражение

C = 4πε₀εR. (3.1.47)

Из 3.1.47 следует, что емкостью в 1 Ф обладал бы шар в вакууме и имеющий радиус порядка 9*10⁹ км, что в 1400 раз превышает радиус Земли. Это говорит о том, что 1 Ф – это очень большая электроемкость. Емкость Земли, например, всего около 0.7 мФ. По этой причине на практике пользуются миллифарадами (мФ), микрофарадами (мкФ), нанофарадами (нФ) и даже пикофарадами (пФ). Далее, поскольку ε – безразмерная величина, то из 3.1.47 получаем, что размерность электрической постоянной ε₀ – Ф/м.

Выражение 3.1.47 говорит о том, что проводник может обладать большой емкостью только при очень больших размерах. В практической же деятельности требуются устройства, которые при небольших размерах были бы способны накапливать большие заряды при сравнительно небольших потенциалах, т. е. имели бы большие емкости. Такие устройства называются конденсаторами.

Мы уже говорили о том, что, если к заряженному проводнику приближать проводник или диэлектрик, на них будут наводиться заряды так, что на ближайшей к заряженному проводнику стороне привносимого тела возникнут заряды противоположного знака. Такие заряды будут ослаблять то поле, которое создается заряженным проводником, и это будет понижать его потенциал. Тогда, в соответствии с 3.1.45, мы можем говорить об увеличении емкости заряженного проводника. На такой основе как раз и создают конденсаторы.

Обычно конденсатор состоит из двух металлических обкладок, разделенных диэлектриком. Его конструкция должна быть такой, чтобы поле было сосредоточено только между обкладками. Этому требованию удовлетворяют две плоские пластины, два коаксиальных (имеющих одну и ту же ось) цилиндра разного диаметра и две концентрические сферы. Поэтому конденсаторы, построенные на таких обкладках, называются плоскими, цилиндрическими и сферическими. В повседневной практике чаще используют два первых типа конденсаторов.

Под емкостью конденсатора понимают физическую величину С, которая равна отношению заряда Q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов (φ₁ – φ₂), т. е.

C = Q/(φ₁ – φ₂). (3.1.48)

Найдем емкость плоского конденсатора, который состоит из двух пластин площадью S, отстоящих друг от друга на расстояние d и имеющих заряды +Q и –Q. Если d мало по сравнению с линейными размерами пластин, то краевыми эффектами можно пренебречь и считать поле между обкладками однородным. Поскольку Q = σS, а, как было показано ранее, разность потенциалов между двумя разноименно заряженными пластинами с диэлектриком между ними φ₁ – φ_{2 =} (σ/ε₀ε)d, то после подстановки этого выражения в 3.1.48 получаем

C = ε₀εS/d. (3.1.49)

Для цилиндрического конденсатора длиной l и радиусами цилиндров r₁ и r₂

C = 2πε₀εl/ln(r₂/r₁). (3.1.50)

Из выражений 3.1.49 и 3.1.50 хорошо видно, как можно увеличить емкость конденсатора. Прежде всего, для заполнения пространства между обкладками следует использовать материалы с максимально большой диэлектрической проницаемостью. Другим очевидным способом повышения емкости конденсатора является уменьшение расстояния между обкладками, однако у этого способа имеется важный ограничитель – пробой диэлектрика, т. е. электрический разряд через слой диэлектрика. Разность потенциалов, при которой наблюдается электрический пробой конденсатора, называется пробивным напряжением. Для каждого типа диэлектрика эта величина своя. Что же касается увеличения площади пластин плоского и длины цилиндрического конденсаторов для увеличения их емкости, то всегда существуют чисто практические ограничения размеров конденсаторов, чаще всего это размеры всего прибора, в состав которого входит конденсатор или конденсаторы.

Для того чтобы была возможность увеличивать или уменьшать емкость, на практике широко используется параллельное или последовательное соединение конденсаторов. При параллельном соединении конденсаторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одна и та же и равна φ₁ – φ₂, а заряды на них будут равны Q₁ = C₁(φ₁ – φ₂), Q₂ = C₂(φ₁ – φ₂), … Q_n = C_n(φ₁ – φ₂), поэтому полный заряд батареи из конденсаторов Q будет равен сумме перечисленных зарядов ∑Q_i, которая в свою очередь равна произведению разности потенциалов (φ₁ – φ₂) на полную емкость С = ∑C_i. Тогда для полной емкости конденсаторной батареи мы получаем

C = Q/(φ₁ – φ₂). (3.1.51)

Иными словами, при параллельном соединении конденсаторов полная емкость конденсаторной батареи равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.

При последовательном соединении конденсаторов заряды на обкладках равны по модулю, а полная разность потенциалов ∆φ батареи равна сумме разностей потенциалов ∆φ₁ на зажимах отдельных конденсаторов. Поскольку для каждого конденсатора ∆φ₁ = Q/C_i, то ∆φ = Q/C =Q ∑(1/C_i), откуда получаем

1/C = ∑(1/C_i). (3.1.52)

Выражение 3.1.52 означает, что при последовательном соединении конденсаторов в батарею суммируются величины, обратные емкостям отдельных конденсаторов, при этом суммарная емкость оказывается меньше самой маленькой емкости.

Мы уже говорили о том, что электростатическое поле потенциально. Это значит, что любой заряд в таком поле обладает потенциальной энергией. Пусть имеется проводник в поле, для которого известны заряд Q, емкость C и потенциал φ, и пусть нам необходимо увеличить его заряд на dQ. Для этого надо совершить работу dA = φdQ = Сφdφ по перенесению этого заряда из бесконечности на проводник. Если же нам надо зарядить тело от нулевого потенциала до φ, то придется совершить работу, которая равна интегралу от Сφdφ в указанных пределах. Понятно, что интегрирование даст следующее уравнение

А = Сφ²/2. (3.1.53)

Эта работа идет на повышение энергии проводника. Поэтому для энергии проводника в электростатическом поле можно записать

W = Сφ²/2 = Q φ/2 = Q²/(2C). (3.1.54)

Конденсатор, как и проводник, тоже обладает энергией, которая может быть вычислена по формуле, подобной 3.1.55

W = С(∆φ)²/2 = Q∆φ/2 = Q²/(2C), (3.1.55)

где ∆φ – разность потенциалов между обкладками конденсатора, Q – его заряд, а С – емкость.

Подставим в 3.1.55 выражение для емкости 3.1.49 (C = ε₀εS/d) и учтем, что разность потенциалов ∆φ = Ed, получим

W = (ε₀εS/d)(Ed²)/2 = ε₀εE²V/2, (3.1.56)

где V = Sd. Уравнение 3.1.56 показывает, что энергия конденсатора определяется напряженностью электростатического поля. Из уравнения 3.1.56 можно получить выражение для объемной плотности электростатического поля

w = W/V = ε₀εE²/2. (3.1.57)

Контрольные вопросы

1. Где располагаются электрические заряды у заряженного проводника?

2. Чему равна напряженность электростатического поля внутри заряженного проводника?

3. От чего зависит напряженность электростатического поля у поверхности заряженного проводника?

4. Как обеспечивается защита приборов от внешних электростатических помех?

5. Что такое электроемкость проводника и какова единица ее измерения?

6. Какие устройства называются конденсаторами? Какие типы конденсаторов существуют?

7. Что понимают под емкостью конденсатора?

8. Каковы способы увеличения емкости конденсатора?

9. Что такое пробой конденсатора и пробивное напряжение?

10. Как вычисляется емкость конденсаторной батареи при параллельном соединении конденсаторов?

11. Чему равна емкость конденсаторной батареи при последовательном соединении конденсаторов?

12. Как вычисляется энергия конденсатора?