Электрическое смещение. Связь электри-ческого смещения с напряженностью электростатического поля и поляризованностью.

Если в электростатическом поле, созданном зарядом Q, из точки 1 в точку 2 перемещается заряд Q₀, то сила, приложенная к нему со стороны поля, совершает работу. На элементарном перемещении dl эта работа (рис. 3.1.4)

dA = Fdl = Fdlcosα = QQ₀dlcosα/4πε₀r². (3.1.19)

F * 2

dr dl

· Q₀

1 * r₂

r

r₁

Q

·

Рис. 3.1.4.

Поскольку α – угол между dr и dl, то dlcosα = dr, то

dA = (1/4πε₀)(QQ₀/r²)dr. (3.1.20)

Тогда, проинтегрировав 3.1.20 в пределах от r₁ до r₂, получим, что работа по перемещению заряда Q₀ из точки 1 в точку 2

A₁₂ = (1/4πε₀)( QQ₀/r₁ – QQ₀/r₂) (3.1.21)

не зависит от траектории, а определяется только положением точек 1 и 2. А это, во-первых, означает, что электростатическое поле является потенциальным, а электростатические силы являютсяконсервативными. Во-вторых, оно означает, что работа по перемещению электрического заряда в электростатическом поле по замкнутому пути, которая определяется интегралом от элементарной работы, равна нулю:

= 0. (3.1.22)

Для пробного единичного положительного заряда сила численно равна напряженности поля, поэтому элементарная работа dA по перемещению такого заряда на пути dl равна Edl = E_ldl = Edlcosα. Тогда, подставив в 3.1.22 E_ldl вместо dA, получим, что интеграл по замкнутому контуру от E_ldl равен нулю. Этот интеграл называется циркуляцией вектора напряженности электростатического поля. Равенство нулю циркуляции вектора напряженности означает, что силовые линии электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются или заканчиваются на зарядах, создающих поле.

Поскольку электростатическое поле является потенциальным, то тело, находящееся в этом поле, обладает потенциальной энергией, за счет убыли которой и совершается работа по перемещению зарядов в поле. Это позволяет представить работу электростатического поля как разность потенциальных энергий, которыми обладает пробный заряд Q₀ в начальной и конечной точках перемещения, т. е.:

A₁₂ = (1/4πε₀)( QQ₀/r₁) – (1/4πε₀)(QQ₀/r₂) =

= U₁ – U₂. (3.1.23)

Тогда можно считать, что потенциальная энергия заряда Q₀ в поле заряда Q

U = (1/4πε₀)( QQ₀/r) + C, (3.1.24)

где С – произвольная константа, с точностью до которой может быть определена потенциальная энергия. Поскольку при удалении пробного заряда на бесконечно большое расстояние потенциальная энергия равна нулю, то можно считать равной нулю и константу С. Поэтому потенциальная энергия заряда Q₀, который находится в поле заряда Q на расстоянии r от него, равна

U = (1/4πε₀)( QQ₀/r). (3.1.25)

Для разноименных зарядов QQ₀ < 0, потенциальная энергия их притяжения отрицательная, для одноименных зарядов QQ₀ > 0, потенциальная энергия их отталкивания положительна.

Если пробный заряд находится в поле нескольких зарядов Q_i, то его потенциальная энергия

U_i, = Q₀ ( Q_i /4πε₀r_i). (3.1.26)

Из уравнений 3.1.25 и 3.1.26 хорошо видно, что отношение U/Q₀ не зависит от величины пробного заряда, поэтому его можно считать энергетической характеристикой электростатического поля, которая называется потенциалом

φ = U/Q₀ = (1/4πε₀)( Q/r). (3.1.27)

Если в качестве пробного выбрать единичный заряд, то из 3.1.27 сразу станет виден физический смысл потенциала – потенциальная энергия единичного заряда, помещенного в точку поля, удаленного от заряда Q, создающего поле, на расстояние r.

Работа А₁₂, которую совершает электростатическое поле по перемещению электрического заряда Q₀ из точки 1 в точку 2, может быть найдена из уравнения

А₁₂ = U₁ – U₂ = Q₀(φ₁ – φ₂). (3.1.28)

Если перемещать заряд Q₀ из произвольной точки в бесконечность, то из 3.1.27 видно, что там потенциал превращается в ноль. Тогда работа по перемещению единичного положительного заряда на бесконечно большое расстояние A_∞ = Q₀ φ, откуда получим, что

φ = A_∞/Q₀. (3.1.29)

Иными словами, потенциал – это работа по перемещению единичного положительного заряда из рассматриваемой точки поля в бесконечность. В этом состоит физический смысл потенциала как физической величины, характеризующей электростатическое поле. Если поле создается несколькими зарядами, то потенциал всей системы зарядов равен алгебраической сумме всех потенциалов.

Единицей измерения потенциала является вольт (В).1 В – это потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает энергией в 1 Дж, т. е. 1 В = 1 Дж/Кл.

Итак, мы познакомились с силовой (напряженность) и энергетической (потенциал) характеристиками электростатического поля. Какова связь между ними? Предположим, что единичный заряд перемещается вдоль оси х на бесконечно малое расстояние dx. Работа по такому перемещению равна E_xdx, с другой стороны, она равна разности потенциалов φ₁ – φ₂ = – dφ, откуда мы получаем следующее соотношение

E_x = – dφ/dx. (3.1.30)

Такие же соотношения могут быть записаны и для перемещения заряда вдоль осей y и z. Тогда для полного вектора напряженности можно записать

E = – ((dφ/dx)i + (dφ/dy)j + (dφ/dz)k)= – gradφ. (3.1.31)

Знак минус в 3.1.31 указывает на то, что вектор напряженности поля направлен в сторону убывания потенциала.

На прошлой лекции были выведены уравнения для расчета напряженности электростатического поля, создаваемого разными заряженными объектами. Пользуясь соотношением 3.1.31, можно получить выражения для расчета разности потенциалов между двумя произвольными точками поля.

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.Напряженность поля E = σ/(2ε₀), тогда с учетом 3.1.30 разность потенциалов между двумя точками х₁ и х₂ будет равна интегралу в пределах от х₁ до х₂ от E_xdx, что даст следующее равенство

φ₁ – φ₂ = σ(х₂ – х₁)/(2ε₀). (3.1.32)

2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей.Поскольку для такого случая E = σ/ε₀, то интегрирование E_xdx в пределах от 0 до d даст

φ₁ – φ₂ = σd/ε₀, (3.1.33)

где d – расстояние между плоскостями.

3. Поле равномерно заряженной сферической поверхностирадиуса R с полным зарядом Q вне сферы (r > R) имеет напряженность E = (1/4πε₀)(Q/r²), поэтому интегрирование E_rdr в пределах от r₁ до r₂ даст

φ₁ – φ₂ =(σ/4πε₀)(1/r₁ – 1/r₂). (3.1.34)

Если r₂ = ∞, то потенциал поля вне сферической поверхности φ = (1/4πε₀)(σ/r), а внутри он одинаков и равен (1/4πε₀)(σ/R).

4. Поле объемно заряженного шарарадиуса R с полным зарядом Q вне шара (r > R) имеет, как и в предыдущем случае, напряженность E = (1/4πε₀)(Q/r²), поэтому разность потенциалов будет определяться по формуле 3.1.34.

Как известно, вещества, в том числе и диэлектрики, состоят из молекул, атомов или ионов. Молекулы в целом электрически нейтральны. Молекулы диэлектриков с ковалентной связью между атомами могут быть неполярными и полярными. Неполярными являются молекулы с симметричным строением (H₂, N₂, O₂, CO₂,…). Под действием внешнего электростатического поля центры тяжести положительного и отрицательного зарядов в молекулах смещаются в противоположные стороны, и молекулы приобретают дипольный момент, который равен произведению эффективного заряда на концах диполей на расстояние между ними. Молекулы с полярной связью (H₂O, NH₃, SO₂,…) фактически являются диполями, однако из-за хаотического теплового движения молекул их суммарный дипольный момент равен нулю. Когда же они оказываются во внешнем электронном поле, то диполи определенным образом ориентируются в пространстве, поэтому возникает отличный от нуля результирующий дипольный момент.

Третью группу диэлектриков представляют кристаллические вещества с ионной связью, структура которых состоит из вдвинутых друг в друга катионных и анионных подрешеток с упорядоченным расположением ионов в каждой из них. При помещении кристалла в электростатическое поле подрешетки смещаются друг относительно друга в противоположные стороны, что ведет к появлению дипольного момента.

Во всех этих трех случаях мы имеем дело с явлением поляризации диэлектрика, под которым понимают процесс ориентации диполей в электростатическом поле или появления под его воздействием ориентированных по полю электрических диполей. Полный дипольный момент p_V диэлектрика равен сумме дипольных моментов молекул p_i. Количественно поляризация описывается поляризованностью – векторной величиной, равной дипольному моменту P единицы объема диэлектрика

P = p_V/V . (3.1.35)

Для большого числа диэлектриков поляризованность пропорцио-нальна напряженности Е внешнего поля

P = κε₀E, (3.1.36)

где κ – диэлектрическая восприимчивость вещества, безразмерная величина, равная, как правило, нескольким единицам, хотя для воды она равна, например, 80.

Чтобы установить количественные закономерности явления поляризации диэлектрика во внешнем электростатическом поле внесем диэлектрическую пластинку в поле, создаваемое двумя параллельными разноименно заряженными плоскостями (рис.3.1.2).

+σ –σ’ +σ’ –σ

– +

– +

– +

Рис. 3.1.2.

Под действием внешнего поля диэлектрик поляризуется, на правой грани, обращенной к отрицательно заряженной плоскости, будет избыток положительного заряда с поверхностной плотностью +σ’, а на левой грани – отрицательного с плотностью –σ’. Эти заряды у поверхности диэлектрика называются связанными. Из-за их появления в диэлектрике возникает внутреннее поле E', силовые линии которого противоположны силовым линиям внешнего поля. Это означает, что поляризация диэлектрика приводит к уменьшению в нем поля по сравнению с внешним полем. Поскольку, однако, поверхностная плотность этих связанных зарядов меньше, чем плотность свободных зарядов плоскостей, то внешнее поле не будет полностью скомпенсировано внутренним. Поэтому результирующее поле в диэлектрике

E = E₀ – E’= E₀ – σ’/ε₀. (3.1.37)

Найдем значение поверхностной плотности заряда σ’. С одной стороны, полный дипольный момент пластинки диэлектрика p_V = PV = PSd, где d – толщина пластинки, с другой стороны, он равен произведению полного связанного заряда Q' = σ’S на объем диэлектрика, т. е. p_V = σ’Sd. Тогда из равенства PSd = σ’Sd получаем, что

σ’ = Р. (3.1.38)

Теперь, подставив это значение в 3.1.37, с учетом 3.1.36 приходим к

E = E₀ – κE, (3.1.39)

откуда выводим выражение для напряженности внутреннего поля в диэлектрике

E = E₀/(1 + κ) = E₀/ε. (3.1.40)

Величина

ε = 1 + κ (3.1.41)

называется диэлектрической проницаемостью диэлектрика. Она показывает, во сколько раз поле ослабляется диэлектриком.

Следует отметить, что вектор напряженности Е на границе диэлектрика претерпевает скачкообразное изменение, что создает значительные трудности при расчете поля в диэлектрике. Поэтому поле характеризуют не только вектором напряженности, но и вектором электрического смещения

D =ε₀εE. (3.1.42)

С учетом 3.1.37 и 3.1.42 вектор электрического смещения может быть представлен в следующем виде

D =ε₀E + Р. (3.1.43)

Единицей измерения электрического смещения является Кл/м².

Каков же смысл электрического смещения? Вектор D описывает электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами при таком их пространственном распределении, какое имеется при наличии диэлектрика. А зачем нужно вводить понятие вектора электрического смещения? Ответ дает теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике:поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри нее свободных электрических зарядов.

1.