ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

План: 1. Определение цилиндрических поверхностей.

2. Классификация цилиндрических поверхностей.

Вопрос

Определение 1. Поверхность, обладающая тем свойством, что вместе с каждой своей точкой М она содержит всю прямую, проходящую через точку М, параллельно данному ненулевому вектору , называется цилиндрической поверхностьюили цилиндром.

Цилиндрическая поверхность может быть образована следующим образом:

Пусть γ – некоторая линия, а – ненулевой вектор. Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через некоторую точку линии γ || будет цилиндрической.

Эта линия γ называется направляющей поверхности, а параллельные прямые - образующими.

Теорема. Если направляющая цилиндрической поверхности в прямоугольной декартовой системе координат R=(O, ) задана уравнениями

γ: , а образующие || , то эта цилиндрическая поверхность определяется уравнением F(x, y)=0 (*).

Рассмотрим только те цилиндрические поверхности, которые являются поверхностями второго порядка:

Определение 2.Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением , называется эллиптическим цилиндром; поверхность, которая задается уравнением , называется гиперболическим цилиндром, а которая задается уравнением называется параболическим цилиндром.

Для того чтобы построить поверхности, задаваемые этими уравнениями достаточно построить на плоскости направляющую, уравнение которой на этой плоскости совпадает с уравнением самой поверхности, и затем через точки направляющей провести образующие параллельно оси . Для наглядности следует построить также одно-два сечения плоскостями, параллельными плоскости . В каждом таком сечении получим такую же кривую, как и исходная направляющая.

Примечание: Аналогично, если образующие цилиндрической поверхности параллельны другим осям координат, то такая цилиндрическая поверхность задается уравнениями:

1. В плоскости ХОZ:

Направляющая цилиндрической поверхности задана уравнениями

γ: , а образующие || , то эта цилиндрическая поверхность определяется уравнением F(x, z)=0 (*).

2. В плоскости YОZ:

Направляющая цилиндрической поверхности задана уравнениями

γ: , а образующие || , то эта цилиндрическая поверхность определяется уравнением F(y, z)=0 (*).

Вопрос

Пересечем цилиндрическую поверхность плоскостями, непараллельными ее образующим. В сечении получаются различные линии (эллипс, гипербола, парабола). Поэтому цилиндрическая поверхность называется эллиптической, гиперболической, параболической.

Классифицировать цилиндрические поверхности можно на основании вида направляющей. Существует 9 классов цилиндрических поверхностей.

Если прямоугольную декартову систему координат R=(O, ) выбрать так, чтобы образующие цилиндрической поверхности были параллельны вектору , а направляющая линия γ в системе координат R=(O, ) имела каноническое уравнение, то цилиндрическая поверхность определяется следующими уравнениями.

№	Каноническое уравнение	Название	Изображение
1.		Эллиптический цилиндр
2.		Мнимый эллиптический цилиндр	Нет изображения
3.		Пара мнимых плоскостей пересекающихся по действительной прямой (ось OZ)
4.		Гиперболический цилиндр
5.		Пара плоскостей пересекающихся по OZ
6.		Параболический цилиндр
7.		Пара параллельных плоскостей
8.		Пара мнимых параллельных плоскостей	Нет изображения
9.		Пара совпадающих плоскостей по YOZ