Выделение сезонных эффектов.

Многие временные ряды, особенно экономические, содержат сезонные компоненты. Сезонные компоненты ряда могут представлять интерес сами по себе, так и выступать в роли мешающего фактора. В обоих случаях задача по обработке временного ряда – выделить и устранить их из ряда.

Существует две наиболее распространенных модели описания экономических временных рядов.

Первая – xt = trt +st+et, т.е.

включает тренд trt,

сезонную st и et случайную компоненты.

Вторая включает еще и циклическую ctкомпоненту.

xt = trt +st +ct +et

Циклическая компонента ctотражает периоды роста и спада экономической активности различной амплитуды и продолжительности.

Сезонные эффекты на фоне тренда.

Пусть временной ряд x1, x2, … , xn может быть описан аддитивной моделью. Пусть p- период последовательности st, так что st = st+pдля всякого t.

Задача: оценить значение stпо наблюдениям xtпри том, что величина pизвестна.

Оцениваем тренд trt обозначим оценку trt(по МНК).

2. Для каждого сезона i, где 1£ i £ p, рассмотрим все относящиеся к нему разности:

xi – tri , xi+p – tri+p , … , xi+mp – tri+mp .

Будем считать, что в рассматриваемом ряде содержится целое число периодов, т.е. n=(m+1)p.

Каждое из этих отклонений xiот triможно рассматривать как результат влияния сезонных изменений.

Усреднение этих разностей дает оценку сезонной компоненты si. В качестве простейшей оценки можно взять простое среднее, т.е.

Si = 1\(m+1)å( xi+lp - tr i+lp )дляi = 1, …, p

Часто бывает желательно, чтобы сумма сезонных эффектов равнялась нулю. Тогда переходят к скорректированным оценкам сезонных эффектов в виде

Si*= Si – 1\på Si

В практических задачах распространена ситуация, когда сезонные колебания пропорциональны среднему значению процесса в рассматриваемый момент времени. Для описания подобных данных можно использовать одну из следующих моделей:

xt = trt *st+et

xt = trt stet

Первая из них является смешанной мультипликативно-аддиативной, вторая – мультипликативной.

Для модели xt = trt *st+etпри оценке сезонных эффектов рассматривают совокупность частных от деления xi+lpнаtr i+lpв процентах:

( xi+lp \ tr i+lp )*100,при l = 0,1,2, …, m

В этом случае оценкой сезонной компоненты или сезонным индексом называют величину:

Si = 1\(m+1)å(( xi+lp \ tr i+lp )*100)), где1 £ i £ p

На практике считается, что оценки сезонных эффектов недостаточно точны, если число периодов в исследуемом сезонном временном ряде меньше 5-6. Это означает, что при рассмотрении, например, месячных данных, для достаточно точной оценки сезонных эффектов необходимы, как минимум, наблюдения 5-6 лет.