Графический анализ функции правдоподобия

Одно из достоинств использования функции правдоподобия при анализе данных состоит в том, что часто удается найти графический вид этой функции и тем самым наглядно представить полученный результат. Этот метод неудобен, если имеется три или большее число параметров, оценки которых независимы.

Допустим, что имеется один независимый параметр . Изобразив графически функцию l() или фенкцию L()=ln[l()], можно сразу же найти значение которому соответствует «наивысшей» точке кривой. Это избавляет нас от трудоемких расчетов в тех случаях, когда соответствующее максимуму значение  не может быть найдено аналитически и приходится прибегать к итерации. Кроме того, используя график, можно тотчас указать доверительный интервал или ошибку полученной оценки, проведя на графике соответствующую линию.

В том случае, когда имеется два параметра  и  функция правдоподобия представляет собой поверхность, контуры которой можно изобразить на плоскости (). Обычно, когда максимум располагается внутри области, контурами равного правдоподобия являются замкнутые кривые. В этом случае двумерным доверительным интервалом служит площадь, охватываемая контуром.

Случай непрерывного параметра

Пусть имеется нормальное распределение с единственной дисперсией и неизвестным параметром N(,1). Функция правдоподобия m получится из выборки объема n, имеет вид

Она представляет собой такую же колоколообразную кривую, что и плотность вероятности с центром в точке =x. В данном случае удобнее иметь дело с логарифмической функцией правдоподобия

К выражению можно добавить любую const не содержащую . Если в качестве такой const взять

,

то функцию

,

представляющую собой параболу, ширина которой растет пропорционально , а максимум, равный нулю, расположен при =x. Если n=1, то

Изобразим функцию:

Подобный график лежит в основе анализа большого класса функций правдоподобия, которые зависят от одного параметра и обладают следующими свойствами:

1. L() – непрерывны

2. L() – имеют единственный максимум в интересующей нас области.

Приведенная выше логарифмическая функция правдоподобия имеет максимум при =x.

Согласно свойствам нормального распределения, выражению

соответствует доверительная вероятность, равная 68,3%. Аналогично, отрезок прямой, проведенной на уровне L=-2, соответствует 95% доверительному интервалу.

Б) случай неизвестной дисперсии: если в рассмотренном примере дисперсия неизвестна, то возникает двухпараметрическая задача:

Следовательно:

логарифмическая функция правдоподобия

Необходимо найти пару значений , которые с наибольшей вероятностью приводили бы к наблюдаемым значениям . Для этого нужно решить совместно два уравнения:

и

,

откуда

Далее ,

Откуда

Видно, что ^оказывается смещенной оценкой дисперсии ^т.к.