Пересчет как способ нахождения значения выражения.

Данный способ не является вычислительным приемом, но позволяет находить значение выражения и может служить спо­собом проверки правильности вычислений на ранних этапаховладения ребенком вычислительной деятельностью. Этот сп соб опирается на теоретико-множественный смысл арифмет ческих действий сложения и вычитания. Моделируя эти дей вия в соответствии с заданными численными характеристикам на предметной или условно-предметной наглядности (палочки, фигурки и т. п.), ребенок может использовать пересчет элемен­тов результирующего множества (объединения или остатка после удаления части) для определения его численности.

Такой способ является корректным с теоретико-множе­ственной точки зрения, поскольку по определению для двух (и более) конечных множеств А и В, не имеющих общих эле­ментов, справедлива теорема: объединение этих множеств А и В тоже конечно, причем число элементов в А и В равно сумме чисел элементов в А и В:

А П В = 0 => п(А и В) = п(А) + п(В), где п(А) и п(В) — число элементов множеств А и В, а п(А и В) — число элементов в их объединении¹.

Аналогичным образом можно обосновать применение спо­соба пересчета для нахождения значения разности: «В началь­ном курсе математики вычитание вводится на основе практи­ческих упражнений, связанных с выделением подмножества данного множества и образованием нового подмножества — дополнения выделенного подмножества. При этом, конечно, теоретико-множественная терминология и символика не используются, а число элементов подмножества и его дополне­ния находится путем пересчета»². Данные цитаты определя­ют способ нахождения суммы и разности в начальной школе, но, естественно, их можно отнести и к дошкольному обучению математике, поскольку в них представлен общетеоретический математический подход к рассматриваемым понятиям.

2. Присчитывание и отсчитывание как основной вычисли­тельный прием в дошкольном обучении.

Присчитывание и отсчитывание отличаются от пересчета тем, что «счет, как деятельность, направленная на определе­ние всех элементов множества, всегда начинается с числа один. Присчитывание же есть способ вычисления, когда к какому-либо известному числу прибавляется другое число, как быв дополнение, поэтому, поскольку первое слагаемое известно, к нему надо присчитать второе слагаемое»¹.

В основе приема присчитывания с теоретико-множествен­ной точки зрения лежит добавление или убавление по одному от заранее заданной совокупности. Это позволяет на начальных этапах строить обучение данному приему с опорой на количе­ственную модель ситуации. Приведем примеры.

Задание. Возьмите три палочки из коробки. Что надо сде­лать, чтобы их стало четыре? (Одну добавить.) Добавьте одну палочку. Сосчитайте, сколько их. Получилось четыре? (Да.)

Задание. Снова возьмите три палочки. Что нужно сделать, чтобы их стало две? (Одну убрать.) Уберите одну. Сосчитайте, сколько палочек? Получилось две? (Да.)

В этом упражнении дети используют пересчет для проверки правильности выполненных предметных действий на увели­чение (уменьшение) данной совокупности на одну единицу.

Задание. Возьмите 6 треугольников из дидактического набора. Соберите их в руку. Уберите один. Сколько осталось в ладони? (Пять.) Проверьте свой ответ — прересчитайте фигурки. Снова спрячьте их в ладони. Уберите один. Сколько осталось? (4) Про­верьте, пересчитайте.

Форма организации наглядности в этом упражнении бли­же к сути процесса присчитывания, поскольку данная сово­купность скрыта от глаз ребенка и ему приходится выполнять присчитывание, опираясь либо на мысленную количественную модель этой совокупности, либо на знание принципа построе­ния натурального ряда чисел. В этом упражнении также ис­пользован пересчет для проверки правильности результата отсчитывания.

В общем случае основой данного приема является принцип образования чисел в натуральном ряду: каждое следующее чис­ло на единицу больше предыдущего.

Следствием этого принципа является способ нахождения значений выражений вида 5 + 1,8 + 1;6-1,7-1ит. п. путем называния либо следующего, либо предыдущего числа. Ины­ми словами, для нахождения значения данных выражений нет необходимости выполнять какие-то специальные вычисли­тельные действия, достаточно понимать, что добавление 1 ве­дет к получению следующего по счету числа, а убавление 1 — к появлению предыдущего по счету числа. Именно для по­лучения результатов в таких выражениях ребенок заучивал наизусть названия чисел в прямом и обратном порядке.

Число предыдущее — стоит в ряду чисел левее данного. При счете называется непосредственно перед данным. Количествен­но содержит на одну единицу меньше данного.

Число последующее (следующее) — стоит в ряду чисел правее данного. При счете называется непосредственно после данного. Количественно содержит на одну единицу больше дан­ного.

Обучение ребенка вычислениям с опорой на данный прин­цип является перспективным методическим действием, по­скольку этот способ вычислений будет «работать» на любом числовом множестве:

7 + 1 17 + 1 177 + 1 10 277 + 1

7 — 1 17 — 1 177 — 1 10 277 — 1

Действенным методическим приемом при обучении дошко­льников присчитыванию и отсчитыванию является использо­вание линейки в качестве наглядной опоры для запоминания последовательности чисел, а также для усвоения способа нахо­ждения числа последующего и предыдущего. Наличие внеш­ней опоры создает оптимальные условия для интериоризации, т.е. формирования наглядно пред ставимой мысленной модели ряда натуральных чисел, что помогает находить результаты присчитывания и отсчитывания детям с ведущим наглядно-образным мышлением.

Для детей с ведущим кинестезическим восприятием и типом памяти (т. е. требующим обязательной поддержки словесной информации мышечным усилием, двигательным действием) следует не только допускать, но и поощрять использование пальцевого счета при изучении всех вычислительных приемов первого десятка. Естественно, этот вариант внешнего подкреп­ления вычислительной деятельности является более медлен­ным, и многим педагогам кажется недопустимым даже для дошкольников. В защиту использования этого способа под­крепления вычислительной деятельности для детей с ведущим кинестезическим типом можно привести многочисленные ис­следования психологов последних десятилетий, подтверждаю­щие, что при исключении двигательных действий у этих де­тей усвоение происходит на формальном уровне, по принципу зазубривания без понимания, а в дальнейшем это крайне ос­ложняет формирование вычислительной деятельности с чис­лами в пределах сотни, тысячи и т. п.

3. Прибавление и вычитание по частям.

Следующую группу вычислительных приемов в пределах первого десятка составляют случаи вида: а ± 2, а ± 3, а ± 4, результаты которых могут быть найдены с помощью последо­вательного присчитывания или отсчитывания по 1:

2 + 3 = 2 + 1 + 1 + 1; 7-4 = 7-1-1-1-1

или с помощью прибавления и вычитания по частям:

2 + 3 = 2 + 1 + 2; 7 — 4 = 7-2-2

В дошкольном обучении вычислительной деятельности не­целесообразно использовать прием прибавления (вычитания) по частям, так как он требует опоры на предварительно выучен­ные наизусть результаты табличного сложения и вычитания. Например, для вычисления разности 7 - 4 в виде 7-2-2 необ­ходимо сначала вспомнить результат вычитания 7-2, равный 5, а затем результат 5-2, равный 3. На заучивание всего объ­ема результатов табличного сложения и вычитания в началь­ной школе уходит от полугода до года в различных системах обучения.

При обучении вычислительной деятельности дошкольников целесообразно ориентироваться на прием последовательного присчитывания и отсчитывания по 1, так как он не требует спе­циальных вычислительных действий какого-то нового вида, а требует лишь последовательного применения принципа об­разования чисел в натуральном ряду.

Например. Вычислите 6 + 1 + 1.

Рассуждения ребенка: прибавляя к 6 единицу, получаем следующее число — это 7; прибавляя к 7 единицу, получаем следующее число — это 8.

Значит, 6 + 1 + 1 = 8.

В качестве наглядной модели во всех случаях удобно исполь­зовать линейку — чтобы прибавить единицу дважды, ребенок делает от числа 6 два «шага» вправо, получая ответ наглядно (эти «шаги» полезно прослеживать пальцем).

При использовании пальцевого счета ребенок отгибает (или загибает) последовательно два пальца, присчитывая их к 6 пальцам или, в крайнем случае, сосчитывая заново все ко личество отогнутых (загнутых) пальцев.

Аналогично ребенок действует при вычислениях вид! а - 1 - 1. В этом случае используется понятие о предыдущем числе и знание последовательности чисел в обратном поряди"

Вычислительный прием а ± 2, а ± 3, а ± 4 объединим последовательное присчитывание (отсчитывание) соотвот ствующего количества единиц к числу, как в предыдущим случае.

В качестве наглядной модели удобно использовать счеты поскольку, прибавляя или вычитая, например, 2, ребенок чаще всего перебрасывает дважды по одной косточке, фи к тически моделируя приведенную выше схему. Если ребенО! сначала отсчитывает на счетах две косточки, а потом перебри сывает их, он, как правило, затем при нахождении результ-пм сосчитывает заново все количество полученных косточек. Этот способ выполнения вычислений показывает, что ребенок пони мает смысл действий, но приемами присчитывания и отсчиты* вания по каким-то причинам не пользуется. В этом случае еле дует заменить счеты на линейку, по которой ребенок деликт нужное количество «шагов» вправо или влево от заданного чио* ла, или использовать пальцевый счет.

В начальной школе ставится цель довести умение ребенка прибавлять и отнимать 2 до состояния навыка, т. е. до запоми­нания результатов прибавления и вычитания двух в пределах 10 наизусть:

Таблица сложения и вычитания двух содержит самое боль- 1 шое количество случаев, а поскольку она изучается первой, ;] многие дети испытывают большие трудности, пытаясь заучить этот объем.

Если ребенок хорошо владеет приемами присчитывания и отсчитывания, он всегда может вычислить забытый случай из таблицы, используя осознанную вычислительную деятель­ность. Для многих детей с проблемами процессов запомина­ния (это характерно для многих часто болеющих детей в связи с соответствующим влиянием некоторых медицинских препа­ратов, для детей с синдромом дефицита внимания, для детей с гиперподвижностью, для детей с задержкой развития и т. д.) формирование осознанной вычислительной деятельности — это единственно возможный путь избежать мучительного и бес­смысленного зазубривания.

4. Использование знаний состава чисел при вычислении значений выражений.

Если при изучении чисел в пределах 10 ребенок запомнил наизусть состав однозначных чисел (что вполне возможно для детей с хорошей механической памятью на числа) и легко его воспроизводит, то проще всего для такого ребенка при нахож­дении значения выражения опираться на соответствующие случаи состава однозначных чисел:

Например:

значит: 3 = 1 + 2, тогда 1 + 2 = 3, аЗ — 2 = 1 значит: 7 = 5 + 2, тогда 5 + 2 = 7, а7 — 2 = 5

Данный путь формирования вычислительной деятельности также является перспективным и преемственным, поскольку многие учебники математики для 1 класса ориентируют ребен­ка на использование состава числа как основы для запомина­ния таблиц сложения и вычитания. При этом удобнее ориен­тироваться не на составление и заучивание таблицы каждого случая целиком, а на составление и запоминание взаимосвя­занных троек: 9

/ 9 = 5 + 4значит:5 + 4 = 9; 9 — 4 = 5; 9 — 5 = 4 5 4

Составление таких троек не требует знания взаимосвязи I жду компонентами действий сложения и вычитания, а тол ы знания состава чисел. В речевой форме это звучит так: 9 — :и п пять и четыре, значит, 9 без пяти — это четыре, а 9 без чет*

Рех — это пять. 5. Перестановка слагаемых при вычислении значения вы­ражения. Изучение случаев сложения, когда второе слагаемое боль ше первого, требует знакомства с правилом перестановки сла­гаемых (переместительное свойство сложения): От перестанон-ки слагаемых сумма не изменяется. Применение при вычислениях перестановки слагаемых по­зволяет свести все эти случаи к ранее изученным.

Например: 2 + 8 = 8 + 2 = 10. Перестановка слагаемых может рассматриваться как при­ем вычислений, который облегчает сложение любых чисел.

Например: 12 + 346 = 346 + 12 = 358. Прием перестановки слагаемых позволяет составить крат­кую таблицу сложения в пределах 10: 2 + 2 = 3 + 2 = 4 + 2 = 3 + 3= 6 5 + 2 = 4 + 3= 7 6 + 2 = 5 + 3= 8 4 + 4 = 8 7 + 2 = 6 + 3= 9 5 + 4 = 9 8 + 2 = 7 + 3=10 6 + 4 = 10

С учетом свойства перестановки слагаемых данная таблица включает все случаи сложения в пределах 10. Таблица содер­жит 15 случаев, и, безусловно, ее заучивание для ребенка на­много более легкая задача, чем заучивание полной таблицы. Методически знакомство с этим правилом педагог может ор­ганизовать через построение количественных моделей объе­диняемых множеств.

Последующее сосчитывание элементов результативного множества покажет неизменность этого ко­личества при различном порядке их объединения: АиВ = ВиА=> п(А) + п(В) = п(В) + п(А). 6. Вычислительные приемы сложения и вычитания во вто­ром десятке.

Как было отмечено в начале лекции, в некоторых альтерна­тивных программах (например, «Детство», «Радуга») пре­дусмотрено обучение детей старшей и подготовительной групп вычислениям в пределах 20. Кратко охарактеризуем возмож­ности использования знаний нумерации натуральных чисел при обучении таким вычислениям.

А. В случаях вида 17-2,17 + 2 следует ориентироваться на прием последовательного присчитывание и отсчитывания по 1 с опорой на линейку.

Б. В случаях вида 9 + 2, 7 + 4 (с переходом через десяток) также разумнее ориентироваться на присчитывание по 1 с опо­рой на линейку.

В. В случаях вида 10 + 2,15-5 следует ориентироваться на десятичную модель двузначного числа (см. лекцию 13). При нахождении значения данных выражений обычно ссы­лаются на разрядный (десятичный) состав чисел второго де­сятка.

Например: 12 значит: 12 - 10 = 2 10 + 2 = 12 / 12-2 = 10 2 + 10 = 12 10 2 При рассмотрении таких случаев с дошкольниками разум­нее использовать не символическую запись, приведенную выше, а опираться на предметную модель двузначного числа (используя счетные палочки и пучок палочек, как модель де­сятка).

Лекция 11