Моделирование технологических процессов в Mathcad

Математический пакет Mathcad популярен среди математиков-непрограммистов, в первую очередь благодаря своему WYSIWYG-интерфейсу (т. е. «что вижу в редакторе, то и получу»), максимально приближающему внешний вид документов Mathcad к традиционным расчетам «на бумаге». Платой за внешнюю простоту, конечно, становятся трудности при решении громоздких вычислительных задач, таких как, например, решение дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому многие исследователи считают, что Mathcad изначально не подходит для моделирования подобных задач, и что предпочтение в выборе инструмента следует отдать безусловно более мощной и оптимальной (в смысле простоты реализации возможностей вычислительной линейной алгебры и разнообразия соответствующих программных средств) системе MATLAB.

Легко понять, почему затруднительно обеспечить математический пакет Mathcad универсальными средствами для решения уравнений в частных производных (как, например, в данном пакете реализовано решение обыкновенных дифференциальных уравнений). Причина кроется в специфике самих задач. Различные виды дифференциальных уравнений в частных производных требуют, как правило, применения различных и подчас весьма специфических численных алгоритмов. Более того, некоторые отдельные уравнения с различными параметрами (в частности, характеризующими их нелинейность) могут успешно решаться существенно разными численными методами. Поэтому почти невозможно предложить алгоритм (или даже группу алгоритмов), который успешно решал бы любое наперед взятое уравнение. Огромное число задач по сей день так и остаются вообще нерешенными, алгоритмы для них отсутствуют, а сама структура решений остается загадкой. Можно привести, в частности, такой широко известный пример, как система уравнений гидродинамики, которая, как считает сейчас большинство ученых, должна иметь при определенных комбинациях параметров решение, описывающее турбулентное движение жидкости. Между тем, увы, численный эксперимент пока не привел к особенным успехам, хотя в данной области трудится огромное число научных работников.

Как правило, сам процесс решения конкретных уравнений в частных производных — кропотливый научный труд, требующий серьезной подготовки исследователя. Очень часто работа над решением уравнений (в практических случаях — зависящих от трех пространственных координат и требующих, соответственно, серьезных ресурсов компьютера) начинается с рассмотрения сильно упрощенных случаев для того, чтобы выработать сам алгоритм решения задачи и выяснить ее особенности с точки зрения вычислительного эксперимента. Именно здесь в полной мере могут проявиться преимущества пакета Mathcad — его простота, интуитивный WYSIWYG- интерфейс и возможность использования непрофессионалами в области программирования, навыки которого необходимы, к примеру, при работе с MATLAB. При этом практически значимые расчеты на основе выработанных алгоритмов могут быть затем проведены при помощи программирования в других системах, а если задача не очень громоздка, то все вычисления (вплоть до представления результатов) могут быть выполнены непосредственно в Mathcad, в очень удобной для математика среде редактирования. К слову, Mathcad имеет инструменты для создания анимации графиков, которые просто незаменимы при визуализации решения динамических уравнений. Именно такой подход попытаемся проиллюстрировать в настоящей статье и на довольно простом примере показать, как при помощи Mathcad можно организовать решение дифференциальных уравнений в частных производных и осуществить затем профессиональное оформление результатов вычислений.

На первый взгляд, Mathcad имеет довольно скудные средства для решения уравнений в частных производных. В прошлых версиях этого приложения (вплоть до 2001 i) имелись лишь две встроенных функции — relax и multigrid, реализующие численный алгоритм решения двумерного уравнения Пуассона (которое принадлежит к классу эллиптических уравнений). В последней 11-й версии Mathcad заложены дополнительные возможности решения и других уравнений. С этой целью добавлена встроенная функция для решения параболических и гиперболических одномерных уравнений (более подробно о применении этих средств написано в последнем разделе этой статьи). Тем не менее, арсенал встроенных средств с точки зрения ученого или инженера явно недостаточен для решения практических проблем моделирования и преследует главным образом демонстрационные и учебные цели. Справедливости ради следует заметить, что разработчики всерьез намерены расширять диапазон решаемых задач, и в новых версиях Mathcad, видимо, появятся новые функциональности.

Таким образом, встроенные функции Mathcad позволяют решать следующие уравнения в частных производных:

• эллиптические при помощи функций relax и multigrid — только двумерное уравнение Пуассона (с краевыми условиями в форме Дирихле или Неймана);

• параболические и гиперболические при помощи функции pdesolve (начиная с 11-й версии) — только одномерные (по пространственной координате) уравнения или системы уравнений.

Сказанное касается только встроенных возможностей Mathcad, однако применение простейших приемов программирования, заложенных в этом пакете, позволяет существенно расширить круг решаемых задач.