Дифференциальное уравнение электромагнитной волны

Как уже указывалось (см. § 161), одним из важнейших следствий уравнений Максвелла (см. § 139) является существование электромагнитных волн. Можно показать, что для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Нпеременного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению типа (154.9):

, (162.1)

, (162.2)

где – оператор Лапласа, υ – фазовая скорость.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнениям (162.1) и (162.2), описывает некото­рую волну. Следовательно, электромагнитные поля действительно могут существовать в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость электромагнитных волн определяет­ся выражением

, (162.3)

где – соответственно электрическая и магнитная постоянные, ε и μ – соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.

В вакууме (при ε =1 и μ=1) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Так как εμ>1, то скорость распространения электромагнит­ных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме.

При вычислении скорости распространения электромагнитного поля по формуле (162.3) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с экспериментальными данными, если учитывать зависимость ε и μ от частоты. Совпадение же размерного коэффициента в (162.3) со скоростью распространения света в вакууме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явлениями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представ­ляет собой электромагнитные волны.

Следствием теории Максвелла являетсяпоперечность электромагнитных волн:век­торыЕ и Н напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны (на рис. 227 показана моментальная «фотография» плоской электро­магнитной волны) и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору v скорости рас­пространения волны, причем векторыЕ, Ниv образуют правовинтовую систему. Из

уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы Е и Нвсе­гда колеблются в одинаковых фазах (см. рис. 227), причем мгновенные значения Е и Нв любой точке связаны соотношением

(162.4)

Следовательно, Е и Н одновременно достигают максимума, одновременно обраща­ются в нуль и т. д. От уравнений (162.1) и (1622) можно перейти к уравнениям

(162.5)

(162.6)

где соответственно индексы у и z при Е и Н подчеркивают лишь то, что векторы Е и Н направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей у и z.

Уравнениям (162.5) и (162.6) удовлетворяют, в частности, плоскиемонохроматические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями

(162.7)

(162.8)

где Е₀ и Н₀ – соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнит­ного полей волны, ω – круговая частота волны, k=ω/υ – волновое число, φ – на­чальные фазы колебаний в точках с координатой х=0. В уравнениях (162.7) и (162.8) φ одинаково, таккак колебания электрического и магнитного векторов в электромаг­нитной волне происходят в одинаковых фазах.